设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点．（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x

设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3-x（x∈R）的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g(x)＝(a2+
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4 )ex．若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|＜1成立，求a的取值范围．

（Ⅰ）f′（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e3-x，
由f′（3）=0，得-[32+（a-2）3+b-a]e3-3=0，即得b=-3-2a，
则f′（x）=[x2+（a-2）x-3-2a-a]e3-x
=-[x2+（a-2）x-3-3a]e3-x=-（x-3）（x+a+1）e3-x．
令f′（x）=0，得x1=3或x2=-a-1，
由于x=3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠-4．
当a＜-4时，x2＞3=x1，则
在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
当a＞-4时，x2＜3=x1，则
在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e3，a+6]．
又g(x)＝(a2+
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4 )ex在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2+
25
4 ，（a2+
25
4 ）e4]，
由于（a2+
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4 ）-（a+6）=a2-a+
1
4 =（a?
1
2 ）2≥0，
所以只须仅须（a2+
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4 ）-（a+6）＜1且a＞0，
解得0＜a＜
3
2 ．
故a的取值范围是（0，
3
2 ）．

（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b， ∴f′（-2）=3×（-2）2+2a×（-2）+b=0， 化简得：12-4a+b=0  ① 又f′（1）=3+2a+b=3  ② 联立①②得：a=2，b=-4， ∴f（x）=x3+2x2-4x+5； （2）∴f′（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）， x∈[0，1]时，f′（x），f（x）的变化情况如下： 由上表可知，f（x）在[0，1]上的最大值是5，最小值是 95 27 ．