已知数列{an}是递减的等差数列，且满足a3+a9=50,a5×a7=616，试求数列前多少项之和最大？

已知数列{an}是递减的等差数列，且满足a3+a9=50,a5×a7=616，试求数列前多少项之和最大？

设等差数列首项为a1,公差为d.
由{an}为递减数列,则da2>…>a14>0>a15>…
∴使an≥0成立的最大自然数n,能使Sn取最大值,即这个数列前14项和最大,其最大值S14=287

设等差数列首项为a1,(方便起见)，公差为d. 则通项an=a1+(n-1))×d (n为自然数 )

又由2a6=a3+a9=50 可得a6=50/2=25

又知a5×a7=616 即（a6-d)×(a6+d)=616

可得d=-3 (数列是递减数列)

25=a6=a1+（6-1)×(-3) 可得a1=40

则an=40+(n-1)(-3)=43-3n

当an>=0,即43-3n>=0 得出n=14

an<0,即43-3n<0 得出 n=15

则Sn=(a1+an)×(1/2)×n

=[40+(43-3n)]×(1/2)×n

Smax=S14

=(40+43-3×14) ×(1/2) ×14

=41×7

=287

因为数列{an}是等差数列，且满足a3+a9=50

所以a3+a9=2a6=50,a6=25

又a5×a7=616,即(a6-d)×(a6+d)=(a6)^2 - d^2=616

所以d^2=9

因为数列是递减的,所以d=-3

又a6=25

所以an=a6+(n-6)d=25+(n-6)*(-3)=-3n+43

当n=14时,a14=1>0

当n=15时,a15=-2<0

所以该数列前14项之和最大,最大为S14=287

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