高中圆锥曲线题已知椭圆x^2/2+y^2=1,左右焦点为F1,F2.过点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点,以F2M,F

高中圆锥曲线题
已知椭圆x^2/2+y^2=1,左右焦点为F1,F2.过点F1的直线l与该椭圆交于M,N两点,以F2M,F2N为邻边作平行四边形MF2NP,求该平行四边形对角线F2P的长度的取值范围

分析：此类问题用向量求解比较方便
设直线l的方程为x=my-1,又x²/2+y²=1,联立方程解得（m²+2）y²-2my-1=0
△＞0恒成立,设M（x1,y1）N（x2,y2）,向量F2M=（x1-1,y1）向量F2N=（x2-1,y1）
向量F2P=向量F2M+向量F2N=（x1+x2-2,y1+y2）,所以F2P²=（x1+x2-2）²+（y1+y2）²=
（x1+x2）²-4（x1+x2）+4+（y1+y2）²
由上面的方程可知y1+y2=2m/（m²+2）,x1+x2=m（y1+y2）-2=2m²/（m²+2）-2=-4/（m²+2）
所以F2P²=16/（m²+2）²+16/（m²+2）+4m²/（m²+2）²+4
令m²+2=1/t（t∈(0,1/2]）,则F2P²=8t²+20t+4∈(4,16]
所以F2P∈（2,4]