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已知直角三角形的周长为4 求这个直角三角形面积的最大值 并求此时各边的长

解：可设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，利用勾股定理，得：
a²+b²=c²
a+b+c=4
由a+b+c=4得：4-c=a+b，两边同时平方，得：
16-8c+c²=a²+b²+2ab
16-8c+c²=c²+2ab
16-8c=2ab≤a²+b²=c² ·········①
整理得：
c²+8c≥16
c²+8c+16≥32
(c+4)²≥32
因为c>0，所以解得：c≥4√2-4，
由①知：ab=8-4c，所以：
面积S=1/2×ab=1/2×(8-4c)=4-2c，
可以看出，要使面积S最大，则c必须最小，由上知，斜边c的最小值为c=4√2-4，则面积的最大值为：
S最大=4-2×(4√2-4)=12-8√2

注：上面借助了基本不等式：2ab≤a²+b²，它由(a-b)²≥0展开即得，由此可知原直角三角形为等腰直角三角形时，它的面积才是最大。√表示二次根号，‘4√2-4’表示‘4倍的根号2，再减去4’。
由此知，当原直角三角形面积最大时，此时为等腰直角三角形，所以有：a=b，而c=4√2-4，a+b+c=4，从而求得：a=b=4-2√2，c=4√2-4。