如图，圆O是△ABC的内切圆，在AB AC 边各取一点D E，使AD=AE，且DE连线恰好经过圆心O。

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解决时间 2021-03-15 15:09

提问者网友：謫仙
2021-03-15 11:52

如图，圆O是△ABC的内切圆，在AB AC 边各取一点D E，使AD=AE，且DE连线恰好经过圆护鼎篙刮蕻钙戈水恭惊心O。求证，DO^2=BD×CE

最佳答案

五星知识达人网友：等灯
2021-03-15 12:56

证明：
连结OB，OC，
因为∠ADE=∠AED，所以∠ADE=(180°-∠A)/2=90°-∠A/2，所以∠BDO=180°-∠ADE=90°+∠A/2，所以∠DBO+∠DOB=90°-∠A/2，因为BO平分∠ABC，所以∠DBO=∠ABC/2，∠DOB=90°-∠A/2-∠ABC护鼎篙刮蕻钙戈水恭惊/2，
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠A/2+∠ABC/2+∠ACB/2=90°，，∠DOB=90°-∠A/2-∠ABC/2=∠ACB/2=∠ECO（因CO也平分∠ACB），由对称性可知∠BDO=∠OEC，所以△BDO∽△OEC，所以BD:DO=OE:EC，BD*CE=DO*OE，由对称性DO=OE，所以BD*CE=DO^2。

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1楼网友：怀裏藏嬌
2021-03-15 13:54

证明：连结ob，oc，因为∠ade=∠aed，所以∠ade=(180°-∠a)/2=90°-∠a/2，所以∠bdo=180°-∠ade=90°+∠a/2，所以∠dbo+∠dob=90°-∠a/2，因为bo平分∠abc，所以∠dbo=∠abc/2，∠dob=90°-∠a/2-∠abc/2，因为∠a+∠abc+∠acb=180°，所以∠a/2+∠abc/2+∠acb/2=90°，，∠dob=90°-∠a/2-∠abc/2=∠acb/2=∠eco（因co也平分∠acb），由对称性可知∠bdo=∠oec，所以△bdo∽△oec，所以bd:do=oe:ec，bd*ce=do*oe，由对称性do=oe，所以bd*ce=do^2。

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