在三角形ABC中，求证sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2.
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解决时间 2021-04-07 23:48
- 提问者网友：送舟行
- 2021-04-07 17:14
在三角形ABC中，求证sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2.
最佳答案
- 五星知识达人网友：举杯邀酒敬孤独
- 2021-04-07 18:08
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)=4cos(A/2)cos(B/2)cos(pi/2-A/2-B/2)=4cos(A/2)cos(B/2)sin(A/2+B/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)(sin(A/2)cos(B/2)+sin(B/2)cos(A/2))
=2sinAcos(B/2)^2+2sinBcos(A/2)^2
==>
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)-sinA-sinB=sinA(2cos(B/2)^2-1)+sinB(2cos(A/2)^2-1)
=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin(pi-A-B)=sin(A+B)
==>
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
=4cos(A/2)cos(B/2)(sin(A/2)cos(B/2)+sin(B/2)cos(A/2))
=2sinAcos(B/2)^2+2sinBcos(A/2)^2
==>
4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)-sinA-sinB=sinA(2cos(B/2)^2-1)+sinB(2cos(A/2)^2-1)
=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin(pi-A-B)=sin(A+B)
==>
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
全部回答
- 1楼网友：污到你湿
- 2021-04-07 19:18
题目应该是在锐角三角形中。
诚如是，则解答如下：
先证明sina+sinb>1+cosc。
由a、b是锐角得a-b<c及b-a<c，可得cos[(a-b)/2]>cos(c/2)。又sin[(a+b)/2]=cos(c/2)，所以sina+sinb-(1+cosc)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]-2cos²(c/2)=2cos(c/2){cos[(a-b)/2]-cos(c/2)}>0，所以sina+sinb>1+cosc。
所以sina+sinb+sinc>1+cosc+sinc=1+√2sin(c+π/4)。
c是锐角，所以π/4<c+π/4<3π/4，sin(c+π/4)>√2/2，1+√2sin(c+π/4)>2。结论成立。我要举报
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