设I为三角形ABC的内心,当AB=AC=5,BC=6时,向量AI=x向量AB+y向量BC,求实数x,

设I为三角形ABC的内心,当AB=AC=5,BC=6时,向量AI=x向量AB+y向量BC,求实数x,

这是一个等腰三角形,顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高三线合一,所以 BD=DC .因为 BC^2=(AC-AB)^2=AC^2+AB^2-2AB*AC=25+25-2AB*AC=36 ,所以解得 AB*AC=7 .由已知,AI = xAB+yBC=xAB+y(AC-AB)=(x-y)*AB+y*AC ,因为 AB=AC ,所以 x-y=y ,则 x=2y ,由勾股定理得 AD=4 ,所以 S=1/2*BC*AD=12 ,所以 ID=r=2S/(AB+BC+CA)=24/16=3/2 ,因此 AI=4-3/2=5/2 ,所以,由 AI^2=y^2*(AB+AC)^2=y^2*(AB^2+AC^2+2AB*AC) 得 25/4=y^2*(25+25+14) ,解得 y=5/16 ,进而得 x=5/8 .或者这样更简单：由勾股定理得 AD=4 ,面积=12 ,内切圆半径 r=3/2 后,AI=5/2 ,因此向量 AI = 5/8*AD ,而 AI=xAB+yBC=xAB+2yBD ,AD=AB+BD ,因此 xAB+2yBD=5/8*(AB+BD) ,比较系数可得 x=5/8 ,2y=5/8 ,y=5/16 .

感谢回答，我学习了