数学证明:(比较8的9次方和9的8次方的大小) 要求;用严密的数学方法证明! 谢谢
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解决时间 2021-03-03 23:49
- 提问者网友:書生途
- 2021-03-03 16:00
数学证明:(比较8的9次方和9的8次方的大小) 要求;用严密的数学方法证明! 谢谢
最佳答案
- 五星知识达人网友:春色三分
- 2021-03-03 17:25
运用数学归纳法!
比较 x = k^(k+1) 和 y = (k+1)^k的大小
x(1) = 1 < y(1) = 2
x(2) = 8 < y(1) = 9
x(3) = 81 > y(1) = 64
x(4) = 1024 > y(1) = 625
那么假设 x(k) > y(k), k>=3 成立,即 k^(k+1) > (k+1)^k , 那么
(k+1)^(k+2) - (k+2)^(k+1)
= [ k * (k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
= k^(k+1) * [(k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
> (k+1)^k * [(k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
= (k+1)^(2k+2) / k^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= [ (k+1)^2 ]^(k+1) / k^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= [ (k+1)^2 / k ]^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= (k + 2 + 1/k)^(k+1) - (k+2)^(k+1)
> 0
所以 当 k>=3 的时候, k^(k+1) > (k+1)^k 成立!
k=8的时候, 8^9 > 9^8
比较 x = k^(k+1) 和 y = (k+1)^k的大小
x(1) = 1 < y(1) = 2
x(2) = 8 < y(1) = 9
x(3) = 81 > y(1) = 64
x(4) = 1024 > y(1) = 625
那么假设 x(k) > y(k), k>=3 成立,即 k^(k+1) > (k+1)^k , 那么
(k+1)^(k+2) - (k+2)^(k+1)
= [ k * (k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
= k^(k+1) * [(k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
> (k+1)^k * [(k+1)/k ]^(k+1) * (k+1) - (k+2)^(k+1)
= (k+1)^(2k+2) / k^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= [ (k+1)^2 ]^(k+1) / k^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= [ (k+1)^2 / k ]^(k+1) - (k+2)^(k+1)
= (k + 2 + 1/k)^(k+1) - (k+2)^(k+1)
> 0
所以 当 k>=3 的时候, k^(k+1) > (k+1)^k 成立!
k=8的时候, 8^9 > 9^8
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- 1楼网友:第四晚心情
- 2021-03-03 19:34
2^7=128>9^2=81,
2^10=1024>10^3>9^3,
8^9=(2^3)^9=2^27=2^10*2^10*2^7
>9^3*9^3*9^2=9^8.
- 2楼网友:刀戟声无边
- 2021-03-03 18:50
8^6=(2^3)^6=2^18=2^8*2^10=2^8*(2^5)^2
6^8=(2*3)^8=2^8*3^8=2^8*(3^4)^2
现在只需要比较2^5和3^4的大小
2^5=32
3^4=81
81>32
所以(2^5)^2<(3^4)^2
所以8^6<6^8
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