设映射f:X→Y,A包含于X,B包含于X,求证:f(A∪B)=f(A)∪f(B)
答案:2 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-01-30 22:36
- 提问者网友：你挡着我发光了
- 2021-01-30 01:20
设映射f:X→Y,A包含于X,B包含于X,求证:f(A∪B)=f(A)∪f(B)
最佳答案
- 五星知识达人网友：何以畏孤独
- 2021-01-30 02:50
设任y∈f(A∪B),则存在x∈A∪B,使得f(x)=y,
∴x∈A,或x∈B,
∴y∈f(A),或y∈f(B),
∴y∈f(A)∪f(B),
∴f(A∪B)是f(A)∪f(B)的子集；
反过来，任y∈f(A)∪f(B),则y∈f(A),或y∈f(B)，
∴存在x∈A,或x∈B,使得f(x)=y,
∴x∈A∪B,
∴y∈f(A∪B),
∴f(A)∪f(B)是f(A∪B)的子集。
∴f(A)∪f(B)=f(A∪B).
∴x∈A,或x∈B,
∴y∈f(A),或y∈f(B),
∴y∈f(A)∪f(B),
∴f(A∪B)是f(A)∪f(B)的子集；
反过来，任y∈f(A)∪f(B),则y∈f(A),或y∈f(B)，
∴存在x∈A,或x∈B,使得f(x)=y,
∴x∈A∪B,
∴y∈f(A∪B),
∴f(A)∪f(B)是f(A∪B)的子集。
∴f(A)∪f(B)=f(A∪B).
全部回答
- 1楼网友：低血压的长颈鹿
- 2021-01-30 03:38
1.任取y∈f(a∪b),则存在x属于a∪b,使得y=f(x).
则x∈a或者x∈b,所以,y=f(x)∈f(a)或者y=f(x)∈f(b).
所以y∈f(a)∪f(b).所以f(a∪b)包含于f(a)∪f(b)
任取y∈f(a)∪f(b),则y属于f(a)或者f(b)所以存在x∈a或者b使得f(x)=y.
即x∈a∪b.所以y∈f(a∪b).所以f(a)∪f(b)包含于f(a∪b)
所以f(a∪b)=f(a)∪f(b);
2.任取y∈f(a∩b),则存在x∈a∩b,使得y=f(x).
则x∈a且x∈b,所以y=f(x)∈f(a)且y=f(x)∈f(b).
所以y∈f(a)∩f(b)
所以f(a∩b)包含于f(a)∩f(b
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