麦克斯韦速率分布率

有个非常不正常的问题。是不是印错了。就是一个有孔的容器内外温度与内外压强为什么不一样呢？答案也看不懂高中火车头封面那本书366页例8

这是《高中物理奥赛指导》的答案是这么说的

你看高中的物理教科书是没有办法搞清楚MAXWELL分布的
我没有这本书……

希望下面的回答能让你满意： 根据麦克斯韦在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》，速度分布率和速率分布率的推导过程大致如下： 设总粒子数为n，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z)。 (1)以dnv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数，则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dnv(x)/n。粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同，用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率，则应有 dnv(x)/n=g(v(x))dv(x) 系统处于平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝任何方向运动的概率相等。因此相应于速度分量v(y),v(z)，也应有相同形式的分布函数g(v(y))，g(v(z))，使得相应的概率可表示为 dnv(y)/n=g(v(y))dv(y) dnv(z)/n=g(v(z))dv(z) (2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据独立概率相乘的概率原理，得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x)，v(y)到v(y)+dv(y)，v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为 dnv/n=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=fdv(x)dv(y)dv(z) 式中f=g(v(x))g(v(y))g(v(z))，即为速度分布函数。 (3)由于粒子向任何方向运动的概率相等，所以速度分布应与粒子的速度方向无关。因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)²+v(y)²+v(z)²)的函数。这样，速度分布函数就可以写成下面的形式： g(v(x))g(v(y))g(v(z))=f(v(x)²+v(y)²+v(z)²) 要满足这一关系，函数g(v(x))应具有c*exp(a*v(x)^2)的形式。因此可得 f=c*exp(a*v(x)²)*c*exp(a*v(y)²)*c*exp(a*v(z)²)=c³exp(av²) 下面来定常数c及a。考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小，故a应为负值。令a=-1/α²，则 dnv/n=c³exp(-v²/α²)dv(x)dv(y)dv(z)=c³exp[-(v(x)²+v(y)²+v(z)²)/α²]dv(x)dv(y)dv(z) 由于粒子的速率在从-∞到+∞的全部速率区间内出现的概率应等于1，即分布函数应满足归一化条件，所以 ∫dnv/n=c³∫exp(-v(x)²/α²)dv(x)∫exp(-v(y)²/α²)dv(y)∫exp(-v(z)²/α²)dv(z)=c³√(πα²)³=1， 可得c=1/(α√π)，从而得到麦克斯韦速度分布律： dnv/n=(α√π)‾³exp(-v²/α²)dv(x)dv(y)dv(z)=(α√π)‾³exp[-(v(x)²+v(y)²+v(z)²)/α²]dv(x)dv(y)dv(z) (4)由上式还可导出速率分布律。可以设想一个用三个相互垂直的轴分别表示v(x),v(y),v(z)的“速度空间”。在这一空间内从原点到任一点(v(x),v(y),v(z))的连线都代表一个粒子可能具有的速度。由于速率分布与速度的方向无关，所以粒子的速率出现在同一速率v处的速率区间dv内的概率相同。这一速率区间是半径为v，厚度为dv的球壳，其总体积为4πv²dv，从而可得粒子的速率在v到v+dv区间出现的概率为 dnv/n=4π(α‾³/√π)exp(-v²/α²)v²dv (5)确定常数α。由上式可求出粒子速率平方的平均值为 =∫v²*4π(α‾³/√π)exp(-v²/α²)v²dv=1.5α²， 而由压强微观公式p=nm/3和理想气体状态方程pv=nkt=nvkt得 =3kt/m，故α²=2kt/m， 从而可得速度分布率 f(v)=dnv/(ndv(x)dv(y)dv(z))=√(m/2πkt)³exp(-mv²/2kt) 和速率分布率 f(v)=dnv/(ndv)=4π√(m/2πkt)³v²exp(-mv²/2kt)， 沿x方向的速度分量v(x)的分布率应为 g(v(x))=dnv/(ndv(x))=√(m/2πkt)exp(-mv(x)²/2kt).

其实在电磁学教材中都写得很清楚，它的整个推倒过程关键是用到了数学的统计思想，你看下书就能明白的，数学东西倒是很大的一块