高二数学题。。

若直角三角形的周长为1，求它面积的最大值。

因 a+b=1-c,----①
两边平方,再通过勾股定理,
得 ab=(1-2c)/2----②

以a、b为根，构造方程： x²+(c-1)x+(1-2c)/2=0

△≥0，则解的：c≥√2-1 所以c最小为√2-1
又 s=ab/2
再代入② 最大 S为 （1-2c）/4=（3-2√2）/4

推广周长为L时，自己算算吧
设该三角形边长分别为a,b,c.其中c为斜边。
已知：a+b+c=L
勾股定理a^2+b^2=c^2
面积s=1/2*a*b  要想使s最大，就要使a×b达到最大值。
因为a^2+b^2>=2ab,当a=b时(说明为等腰直角三角形时），ab取最大值，即ab＝（a^2+b^2)/2=c^2/2
所以max s=c^2/4
又因为a+b+c=L，a=b,c=根号2×a，整理得，c=2^0.5*L/(2+2^0.5)
则s的最大值为L^2/(12+8*2^0.5)