已知数列的通项为1/（n∧2），求其前n项和。

即1/1，1/（2的平方），1/（3 的平方）..................1/（n的平方），的和，..那你可以证明他们的和小于2吗？

1＋1/2²＋1/3²＋ … ＋1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
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将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6
1/2²＋1/3²＋ …=π²/6-1

这个题目前n项的和不是个有理的式子吧，只知道当n趋向于无穷大时，

Sn=π^2/6

1/1*1+1/2*2+1/3*3+...+1/n*n<1/1*1+1/1*2+1/2*3+.....+1/n(n+1)

=1+1-1/2+1/2-1/3+..+1/n-1/(n+1)=2-1/(n+1)

1/(n+1)>0

所以1/1*1+1/2*2+1/3*3+...+1/n*n<2-1/(n+1)<2

求自然数倒数的平方和：1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…… 这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过，但是没有结果，而欧拉运用他娴熟的数学技巧给出了如下的算法。 已知sinZ=Z-Z^3/3!+Z^5/5!-Z^7/7!+……（在此，n!表示n的阶乘） 而sinZ=0的根为0，±π,±2π,……（π表示圆周率） 所以sinZ/Z=1-Z^2/3!+Z^4/5!-Z^6/7!+……的根为±π,±2π,…… 令w=Z^2,则1-w/3!+w^2/5!-w^3/7!+……=0的根为π^2，（2π）^2，…… 又由一元方程根与系数的关系知，根的倒数和等于一次项系数的相反数，得 1/π^2+1/（2π）^2+1/(3π)^2+……=1/3! 化简，得

1+1/2^2+1/3^2+……＝π^2/6 欧拉将毫无关系的三角函数与级数放在一起，解决了多年没有结果的问题，他的数学运用能力可见一斑，我们不妨从他的实例中学习解题的方法技巧，有时大胆猜想也是一种不错的办法。

好像是1