充要条件证明

设a,b,c，分别是△ABC的三个内角A，B，C，所对的边，求证：a^2=b(b+c)的充要条件是A=2B

a2=b(b+c)是2B=A的充要条件。
1、充分性，设已知a^2=b(b+c)
延长CA至E，使AE=AB，连结BE，EC=b+c,<ACB=<ECB,a/(b+c)=b/a,△BCA∽△ECB
∠E=∠ABC,∠BAC=∠E+∠ABE,三角形EBA为等腰三角形，∠E=∠EBA,BAC=2∠ABC,这是充分性。
2、必要性
设已知∠A=2∠B
同样，延长CA至E，使AE=AB，连结BE，
∠BAC=∠E+∠ABE，EA=BA，三角形EBA为等腰三角形，∠E=<ABC，∠BAC=2∠E=2∠ABC,∠ABC=∠E,∠ACB=∠BCE,
△BCA∽△ECB
BC/EC=AC/BC,BC^2=EC*AC,EC=AB+AC
∴a^2=b(b+c)
证毕。