有理函数的不定积分,我知道要把有理真分式分解,要具体计算过程
答案:3 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-01-07 22:56
- 提问者网友:谁的错
- 2021-01-07 11:55
有理函数的不定积分,我知道要把有理真分式分解,要具体计算过程
最佳答案
- 五星知识达人网友:怀裏藏嬌
- 2021-01-07 12:02
被积表达式化为真分式
=[(x^3+2x)+(x^2+2)-2x]/(x^2+2)^2
=x/(x^2+2)+1/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2
∫x/(x^2+2)dx=1/2ln(x^2+2)+c
∫1/(x^2+2)dx=∫1/2*1/(x/√2)^2+1)dx=1/√2*arctan1/(x/√2)+c
-∫2x/(x^2+2)^2dx=-1/2*(x^2+2)+c
三式相加
=[(x^3+2x)+(x^2+2)-2x]/(x^2+2)^2
=x/(x^2+2)+1/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2
∫x/(x^2+2)dx=1/2ln(x^2+2)+c
∫1/(x^2+2)dx=∫1/2*1/(x/√2)^2+1)dx=1/√2*arctan1/(x/√2)+c
-∫2x/(x^2+2)^2dx=-1/2*(x^2+2)+c
三式相加
全部回答
- 1楼网友:平生事
- 2021-01-07 13:08
追答望采纳,谢谢啦追问
追答有区别吗
- 2楼网友:话散在刀尖上
- 2021-01-07 12:15
解:本题可以直接用“凑”的方法解决。
∵x^3+x^2+2=x^3+2x-2x+(x^2+2)=(x+1)(x^2+2)-2x,∴(x^3+x^2+2)/(x^2+2)^2=(x+1)/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2,
∴原式=∫(x+1)dx/(x^2+2)-∫2xdx/(x^2+2)^2=(1/2)∫(2x+2)dx/(x^2+2)+1/(x^2+2)。
而∫(2x+2)dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+2∫dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+(√2)arctan(x/√2)+C1,
∴原式=(1/2)ln(x^2+2)+(√2/2)arctan(x/√2)+1/(x^2+2)+C。供参考。
∵x^3+x^2+2=x^3+2x-2x+(x^2+2)=(x+1)(x^2+2)-2x,∴(x^3+x^2+2)/(x^2+2)^2=(x+1)/(x^2+2)-2x/(x^2+2)^2,
∴原式=∫(x+1)dx/(x^2+2)-∫2xdx/(x^2+2)^2=(1/2)∫(2x+2)dx/(x^2+2)+1/(x^2+2)。
而∫(2x+2)dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+2∫dx/(x^2+2)=ln(x^2+2)+(√2)arctan(x/√2)+C1,
∴原式=(1/2)ln(x^2+2)+(√2/2)arctan(x/√2)+1/(x^2+2)+C。供参考。
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