几何问题(1)
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解决时间 2021-10-13 00:42
- 提问者网友：缘字诀
- 2021-10-12 02:33
几何问题(1)
最佳答案
- 五星知识达人网友：詩光轨車
- 2021-10-12 03:04
圆内接四边形ABCD,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内切圆半径分别为r1,r2,r3,r4求证:r1+r3=r2+r4证明:设△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为I1,I2,I3,I4∵∠AI3D=90+∠ACD/2,∠AI4D=90+∠ABD/2∴∠AI3D=∠AI4D∴A.I4.I3.D四点共圆(同理可知B.I1.I2.C四点共圆)∴∠AI4I3=180-∠ADI3=180-∠ADC/2同理:∠AI4I1=180-∠ABC/2∴∠AI4I3+∠AI4I1=360-(∠ADC+∠ABC)/2=270∴∠I3I4I1=90同理:∠I4I1I2=∠I1I2I3=∠I2I3I4=90∴I1I2I3I4为矩形∴I1I3=I2I4设I1I3与AC交点为M,I2I4与BD交点为N,∠AMI1=α,∠BNI4=β∵A.I4.I3.D四点共圆,B.I1.I2.C四点共圆∴∠AI3I4=ADI4=∠ADB/2=∠ACB/2=∠BI2I1α=∠AI3M+∠MAI3=∠AI3I4+∠I4I3I1+∠DAC/2β=∠BI2N+∠NBI2=∠BI2I1+∠I1I2I4+∠DBC/2∴α=β过I1,I3作AC垂线,P,Q为垂足,则r1=I1P,r3=I3Qr1+r3=I1I3*sinα同理:r2+r4=I2I4*sinβ∴r1+r3=r2+r4
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