设a＞0，f(x)=2xa+a2x是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数
答案:2 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-12-17 01:29
- 提问者网友：混世小仙女
- 2021-12-16 04:45
设a＞0，f(x)=2xa+a2x是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
最佳答案
- 五星知识达人网友：你、猜卟透
- 2021-12-16 06:02
（1）∵a＞0，f(x)=
2x
a +
a
2x 是R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），即
2-x
a +
a
2-x =
2x
a +
a
2x ，
∴
1
a?2x +a?2x=
2x
a +
a
2x ，
2x（a-
1
a ）-
1
2x （a-
1
a ）=0，
∴（a-
1
a ）（2x+
1
2x ）=0，∵2x+
1
2x ＞0，a＞0，
∴a-
1
a =0，解得a=1，或a=-1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知f(x)=2x+
1
2x ，
∴f′(x)=2xln2-
2xln2
22x =2xln2(1-
1
22x )=2xln2(
22x-1
22x )
∵x＞0，
∴22x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
2x
a +
a
2x 是R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），即
2-x
a +
a
2-x =
2x
a +
a
2x ，
∴
1
a?2x +a?2x=
2x
a +
a
2x ，
2x（a-
1
a ）-
1
2x （a-
1
a ）=0，
∴（a-
1
a ）（2x+
1
2x ）=0，∵2x+
1
2x ＞0，a＞0，
∴a-
1
a =0，解得a=1，或a=-1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知f(x)=2x+
1
2x ，
∴f′(x)=2xln2-
2xln2
22x =2xln2(1-
1
22x )=2xln2(
22x-1
22x )
∵x＞0，
∴22x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
全部回答
- 1楼网友：今天没有胃
- 2021-12-16 06:15
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