初三直角三角形

如图1，已知等边三角形ABC，P为△ABC外一点，连接PA，PB，PC。

（1）若∠BPC＝120度，求证PB＋PC＝PA；

（2）若P△ABC内一点，∠BPC＝150度，如图2,请猜想PA,PB与PC之间数量关系，并证明你的猜想？

（3）在（2）的条件下，若PA＝5，△BPC的面积＝3，PC＞PB，求△ABC的面积。请详写解题过程，谢谢。

因为∠BPC=120°

∠BAC=60°

∠BAC+∠BPC=180°

A,B,P,C四点共圆

根据托勒密定理有：

AB·PC+BP·AC=BC·AP

因为AB=AC=BC

将式子同除以AB得到PC+AC=AP

如果不明白这个方法，追问，我会给你更基本的方法

如图，过P做PC的垂线，

然后在垂线上截取PE，使BP=PE

因为∠BPC=150°

∠BPE=60°，

又BP=PE

△BPE是等边三角形

BP=BE

又AB=BC

∠ABC=∠BCE=60°

∠ABP=∠CBE

△CBE全等于△ABP

CE=AP

在RT△PCE中

EC²=PE²+PC²

即BP²+PC²=AP²

 根据正弦公式，得到S△BPC=BP·PC×sin(∠BPC)/2

    6=BP·PC×sin150°

    sin150=0.5

    BP×PC=12

    由AP=5得

    BP²+PC²=25

故BP=3   PC=4

BC²=BP²+PC²-2BP·PC×cos∠BPC    (余弦定理)

BC²=25-24×(-√3/2)    (cos150=-(√3)/2)

BC²=25+12√3

由S△ABC=(AB·BC·sin60)/2

=BC²×√3/4

=(25√3)/4+9