如图，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到（0，1），然后它接着按图示在x轴、y轴的平行方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，求2006秒时，这

如图，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到（0，1），然后它接着按图示在x轴、y轴的平行方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，求2006秒时，这个粒子所处的位置．

解：设粒子运动到A1，A2，…，An时所用的间分别为a1，a2，…，an，则a1=2，a2=6，a3=12，a4=20，…，an-an-1=2n，将a2-a1=2×2，a3-a2=2×3，a4-a3=2×4，…，an-an-1=2n相加得：an-a1=2（2+3+4+…+n）=n2+n-2，∴an=n（n+1）．44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A44（44，44）；又由运动规律知：A1，，A2，…，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．故达到A44（44，44）时向左运动26秒到达点（18，44），即运动了2006秒．所求点应为（18，44）．解析分析：分析粒子在第一象限的运动规律得到数列{an}通项的递推关系式an-an-1=2n是本题的突破口，对运动规律的探索知：A1，A2，…，An中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细观察，细心总结规律．

这个问题的回答的对