τ，σ，ρ是V上的线性变换
是不是要证明τ是单射啊？如果是的话怎么证……不是的话又要怎么做？
线性代数 若im σ=im τσ 则ker σρ=ker τσρ
答案:2 悬赏:30 手机版
解决时间 2021-02-24 07:26
- 提问者网友：聂風
- 2021-02-23 18:27
最佳答案
- 五星知识达人网友：玩世
- 2021-02-23 19:22
你好，不用证明τ是单射
首先任取a∈Kerσρ，即σρ(a)=0,有τσρ(a)=0,所以Kerσρ包含了Kerτσρ
然后，dim(Kerσ)=n-Imσ=n-Imτσ=dim(Kerτσ)
又任取b∈Kerσ,即σ(a)=0,有τσ(a)=0,所以Kerσ包含于Kerτσ,所以Kerσ=Kerτσ
所以任取c∈Kerτσρ,即τσρ(c)=0,则τσ(ρ(c))=0，即ρ(c)∈Kerτσ
又上面已得Kerσ=Kerτσ，所以ρ(c)∈Kerσ，即σρ(c)=0，所以c∈Kerσρ
因此Kerτσρ包含了Kerσρ
综上，ker σρ=ker τσρ
首先任取a∈Kerσρ，即σρ(a)=0,有τσρ(a)=0,所以Kerσρ包含了Kerτσρ
然后，dim(Kerσ)=n-Imσ=n-Imτσ=dim(Kerτσ)
又任取b∈Kerσ,即σ(a)=0,有τσ(a)=0,所以Kerσ包含于Kerτσ,所以Kerσ=Kerτσ
所以任取c∈Kerτσρ,即τσρ(c)=0,则τσ(ρ(c))=0，即ρ(c)∈Kerτσ
又上面已得Kerσ=Kerτσ，所以ρ(c)∈Kerσ，即σρ(c)=0，所以c∈Kerσρ
因此Kerτσρ包含了Kerσρ
综上，ker σρ=ker τσρ
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- 1楼网友：上分大魔王
- 2021-02-23 20:10
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