已知函数f（x）=x-x-1．

已知函数f（x）=x-x^-1．
（Ⅰ） 判断函数f（x）的奇偶性，并证明
（Ⅱ） 证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

（I）f（x）=x-x^-1的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=-x+x^-1=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数
（II）任取x₁，x₂∈（0，+∞），不妨设x₁＜x₂，则有

f(x1)?f(x2)＝x1?
1
x1?(x2?
1
x2)
＝(x1?x2)+(
1
x2?
1
x1)
＝(x1?x2)+(
x1?x2
x1x2)
＝(x1?x2)(1+
1
x1x2)
＝
(x1?x2)(x1x2+1)
x1x2
∵x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

试题解析：

（I）先求出函数的定义域，并且判断是否关于原点对称，再验证f（x）和f（-x）的关系，根据函数的奇偶性的定义进行判定即可；
（II）利用函数单调性的定义进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论，从而得到单调性．

名师点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性，单调性的证明，同时考查了计算能力，属于中档题．