表针重合的问题

每天时针和分针重合多少次？时针.分针.秒针.重合多少次？

我们先算一下在0:00与12:00之间的哪些时刻时针与分针这两个针能重合在一起，而先不考虑秒针是否与它们重合。

   显然，在1:00以前，时针与分针不会重合，因为时针与分针一起从0:00出发，时针走得慢，分针走得快，分针的角速度是时针角度的12倍。一小时以后，即1:00与2:00之间，时针与分针应该重合一次，因为在从1:00到2:00的一个小时当中，时针转过 ，而分针又转了一圈。从1:00算起，时针与分针都在作圆周运动。可以说开始时时针在前（它从一点的位置开始），分针在后（它从十二点的位置开始），但是由于分针一小时转 ，时针一小时只转 ，分针的角速度比时针快，所以分针能逐渐接近时针，与时针重合，然后再超过时针。到2:00时，时针才指向两点，分针又指向十二点了。可见，时针与分针同时从0:00开始运动之后，在1:05到1:10之间的某个时刻将实现第一次重合。

   我们来计算一下这个时刻。

   设这个时刻是1点x分，则从1:00到这个时刻，分针走过的角度是 ，时针走过的角度是 ，分针走过的角度是时针走过的角度的12倍，因而可得方程

    

解之可得

    

   这说明，零点以后，在1点过 分时,时针与分针第一次重合。

   由于时针与分针各自都在作匀速运动，所以显然，以后每隔1小时零 分钟，时针与分针都会重合一次。因而，在0:00与12:00之间，时针与分针重合的时刻有：

   0点0分，1点 分，2点 分，

   3点 分，4点 分，5点 分，

   6点 分，7点 分，8点 分，

   9点 分，10点 分，11点60分（即12点整）。

   当然我们也可以按照上面的思路算出在0:00与12:00之间分针与秒针都在哪些时刻重合，然后看看这些时刻有没有与时、分两针重合的时刻相同的，凡相同的时刻就是三个针都重合的时刻。

   但是如果为了简便，我们也可以不具体求出时针与分针在哪些时刻重合、分针与秒针中哪些时刻重合，再去挑选共同的时刻。

   上面我们已经算出了，从0:00开始，每隔 分钟时针与分针重合一次。我们可以类似地算出，从0:00开始，每隔多少秒钟分针与秒针重合一次。然后求出这两个时间间隔的最小公倍数，就知道每隔多少秒钟分针与秒针能重合一次.

下面我们算一下：从0:00开始，每隔多少秒钟分针与秒针能重合一次？

   分针和秒针运行的情况与时针和分针运行的情况有些类似。我们知道，在零点之后，分针与秒针的第一次重合应该发在0点1分到0点2分之间。设这个时刻是0点1分y秒，利用秒针的角速度是分针角速度的60倍这个条件，考虑从0点1分到0点1分y秒分针与秒针分别转过的角度，可得方程

    y=60(y-1)

解之可得

    

   即每经过1分零 秒，分针与秒针能重合一次。

   下面我们求 分钟与1分零 秒的最小公倍数；

    分= 分= 小时，

   1分 秒= 秒= 秒= 小时。

二者的最小公倍数是12小时。

   由此可知，一天当中，只是在0:00、12:00和24:00时，时针、分针、秒针才能都重合到一起。

每天时针和分针重合23次,时针.分针.秒针.重合1次