计算定积分上限pi/2下限01/3+2cosxdx
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解决时间 2021-11-26 14:51
- 提问者网友：蔚蓝的太阳
- 2021-11-26 10:51
计算定积分上限pi/2下限01/3+2cosxdx
最佳答案
- 五星知识达人网友：鱼芗
- 2021-11-26 11:42
令u = tan(x/2)，三角函数代换法
cosx = (1 - u²)/(1 + u²)
dx = 2/(1 + u²) du
当x = 0，u = 0；当x = π/2，u = 1
∫(0，π/2) dx/(3 + 2cosx)
= ∫(0，1) 1/[3 + 2 * (1 - u²)/(1 + u²)] * 2/(1 + u²) du
= ∫(0，1) (1 + u²)/[3(1 + u²) + 2(1 - u²)] * 2/(1 + u²) du
= 2∫(0，1) 1/(3 + 3u² + 2 - 2u²) du
= 2∫(0，1) 1/(5 + u²) du
= 2 * (1/√5)arctan(u/√5) |(0，1)
= (2/√5)arctan(1/√5)
≈ 0.376137
公式：∫ dx/(a² + u²) = (1/a)arctan(u/x) + C
cosx = (1 - u²)/(1 + u²)
dx = 2/(1 + u²) du
当x = 0，u = 0；当x = π/2，u = 1
∫(0，π/2) dx/(3 + 2cosx)
= ∫(0，1) 1/[3 + 2 * (1 - u²)/(1 + u²)] * 2/(1 + u²) du
= ∫(0，1) (1 + u²)/[3(1 + u²) + 2(1 - u²)] * 2/(1 + u²) du
= 2∫(0，1) 1/(3 + 3u² + 2 - 2u²) du
= 2∫(0，1) 1/(5 + u²) du
= 2 * (1/√5)arctan(u/√5) |(0，1)
= (2/√5)arctan(1/√5)
≈ 0.376137
公式：∫ dx/(a² + u²) = (1/a)arctan(u/x) + C
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- 1楼网友：执傲
- 2021-11-26 13:11
(x/3+2sinx)|(0到pi/2)=pi/6+2-0=2.5235987755982988730771072305466
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