三阶幻方的所有解法

三阶幻方的所有解法

幻方是一种广为流传的数学游戏，据说早在大禹治水时就发现过。幻方的特点是：由自然数构成n×n正方形阵列，称为n阶幻方，每一行、每一列、两对角线上的数之和相等。法国人罗伯总结出了构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法“罗伯法”。
罗伯法的具体方法如下：
把1(或最小的数)放在第一行正中；
按以下规律排列剩下的n2-1个数：
1)每一个数放在前一个数的右上一格；
2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。



3阶幻方，用罗伯法得出答案 8 1 6
3 5 7
4 9 2
你可以把每个数都减去一个固定值，也可以使每一行、每一列、两对角线上的数之和相等。
比如都剪去5，得出 3 -4 1
-2 0 2
-1 4 -3


46

294753618 492357816 816357492 618753294 672159834 834159672 276951438 438951276

我的最新研究成果(见《中学数学教学参考初中版》2014年第5期P67---69)，制作三阶和幻方的通法： 三阶幻方九宫数， 一行中间最小数， 二行中央中位数， 三行最右二小数(第二小的数简称二小数)， 幻和中位三倍数(幻和是中位数的三倍)， 由此推出空格数。 练习题： 1. 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数制作一个三阶幻方。 2. 用1，3，4，5，6，7，8，9，11这九个数制作一个三阶幻方(“杨辉方法”失效)。

3，3，3，4，4，4，5，5，5

http://baike.baidu.com/view/39三阶幻方编辑三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，是由1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字组成的一个三行三列的矩阵（如右图示），其对角线、横行、纵向的数字的和都为15，称这个最简单的幻方的幻和为15。目录

1基本型

2构造

拆填方式

古代方式

奇阶幻方通用构造法

3旋转情况

4特殊数组

任意等差数列

等差的三组等差

5规律

幻和与中心数

过中心的线

边角关系

1基本型相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。由1、2、3、……等连续自然数生成的幻方为基本幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成由零或负数组成的新幻方，新

由三阶基本幻方各数减1生成的新幻方 幻方的幻和也随之变化，不再与原幻方幻和同。如上图基本幻方中各数减1生成的新幻方，幻和为12，如下图示：2构造拆填方式想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。古代方式南宋数学家杨辉概括的构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维突出。”中国古代九宫格的填法口诀是：九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。 　　也有把这两者综合起来说的：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足即：

4	9	2
3	5	7
8	1	6

或

2	9	4
7	5	3
6	1	8

奇阶幻方通用构造法口诀： 　　1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。解释：1)在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…；2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4)如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写。5)也可将所填数在幻方中所对应的数填在幻方中对应的位置。例如：1为第一行中间数，则将对应的9填在最后一行的中间。2以次类推。按照这种方式，做镜像或旋转对称，可得到实际相同的其他填法： 　　只要将1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字调到另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。3旋转情况用1~9填出的三阶基本幻方的所有情况都是相互镜像或旋转的。 　　是本质相同的不同表现：第一种：

8	1	6
3	5	7
4	9	2

第二种：

6	1	8
7	5	3
2	9	4

第三种：

4	9	2
3	5	7
8	1	6

第四种：

2	9	4
7	5	3
6	1	8

第五种：

6	7	2
1	5	9
8	3	4

第六种：

8	3	4
1	5	9
6	7	2

第七种：

2	7	6
9	5	1
4	3	8

第八种：

4	3	8
9	5	1
2	7	6

4特殊数组任意等差数列任意等差数列都可以由1~9的每个数乘以X，再加Y，得到。 　　因此按照原先的从小到大的顺序排列，幻方仍然成立。例如要用6、9、12、15、18、21、24、27、30构成幻方： 　　把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：

27	6	21
12	18	24
15	30	9

幻和值=54等差的三组等差3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。 　　同样按照基本幻方的大小排列他们的顺序即可例如以下3组9个数：【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】构成幻方，

26	2	17
6	15	24
13	28	4

幻和值=45。5规律以下规律对所有三阶幻方均成立：幻和与中心数幻和=3×中心数 　　证明：通过中心数有4条线。将这4条线全部加起来，可以得到：幻和×4=全体数的和+中心数×3而我们知道三阶幻方中，全体数的和=3×幻和（三行或三列）因此有：幻和×4=幻和×3+中心数×3化简得到： 　　幻和=3×中心数过中心的线过中心的线上的三个数，依次成等差数列。或者说，关于中心位置对称的两数，平均数是中心数。证明：过中心线的三个数之和为幻和。性质1已经说明，幻和=3×中心数。 　　因此中心数是这三个数的平均数。 　　从这之中去掉中心数不改变平均数。 　　因此中心数是关于中心位置对称的两数。 　　也就是一个数比中心数多多少，另一个数就比中心数少多少。即他们成等差数列边角关系2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。2a=b+c 　　如：基本幻方中：2*8=9+7，2*4=1+7，2*6=3+9，2*2=1+3

a
		c
	b

证明：过a有3条线。计算这三条线的和：幻和×3=全体数的和+2×a-b-c而全体数的和=幻和×3因此2×a-b-c=02×a=b+c461.htm

2 7 6 9 5 1 4 3 8