将(z+1)/(z^2*(z-1))在0<|z|<1和1<|z|<+∞展成洛朗级数

将(z+1)/(z^2*(z-1))在0<|z|<1和1<|z|<+∞展成洛朗级数

第一步要将原来这个表达式表示成部分分式的形式，这样才能利用1/(1-z) = 1 +z + z^2 + ...
进行展开，这通常是由待定系数做的。
(z+1)/(z^2*(z-1)) = 2/(z-1) - 2/z - 1/z^2
在0 < |z| < 1 上, 2/(z-1) = -2(1 + z + z^2 + ...)
所以Laurent级数为-1/z^2 - 2/z - 2 - 2*z - 2 * z^2 - ...- 2 * z^n - ...
在1 < |z| 上，同样要处理2/(z-1)
此时|1/z| < 1，所以
2/(z-1) = 2/z * 1/(1 - 1/z) = 2/z * (1 + 1/z + 1/z^2 + ... + 1/z^n + ...)
所以Laurent级数为 2/z * 1/(1 - 1/z)- 2/z - 1/z^2 = 1/z^2 + 2 /z^3+ 2/z^4 + .. + 1/z^n + ...