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已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0的两个实数根.(1)求证:无论k为何值时,方程总有两个实数根;

答案:2  悬赏:60  手机版
解决时间 2021-01-05 00:56
已知△ABC的一条边BC的长为5,另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0的两个实数根.
(1)求证:无论k为何值时,方程总有两个实数根;
(2)当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
最佳答案
(1)证明:△=(k+3)2-4×3k
=(k-3)2,
∵(k-3)2,≥0,
∴△≥0,
∴无论k为何值时,方程总有两个实数根;

(2)解:当AC=BC=5,
把x=5代入方程x2-(k+3)x+3k=0得52-(k+3)×5+3k=0,解得k=5;
当AB=AC,则方程x2-(k+3)x+3k=0的两个相等的实数根,
∴△=(k-3)2,=0,
∴k=3,
∴k的值为3或5.解析分析:(1)先计算出△=(k+3)2-4×3k,再变形得到△=(k-3)2,由于(k-3)2,≥0,即△≥0,然后根据△的意义即可得到结论;
(2)分类讨论:当AC=BC=5,由于AC的长是关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0的实数根,则把x=5代入可求出k的值;当AB=AC,得到方程x2-(k+3)x+3k=0的两个相等的实数根,令△=0即可求出对应k的值.点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了等腰三角形的性质.
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