已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：

已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：

（1）抛物线的焦点为F（
p
2，0），设直线AB的方程为y=k（x-
p
2）（k≠0），
由

y=k(x-
p
2)
y2=2px，消去y，得k²x²-p（k²+2）x+
k2p2
4=0，
由根与系数的关系，得x₁x₂=
p2
4（定值）．
当AB⊥x轴时，x₁=x₂=
p
2，x₁x₂=
p2
4，也成立．
（2）由抛物线的定义，知|FA|=x₁+
p
2，|FB|=x₂+
p
2．

1
|FA|+
1
|FB|=
1
x1+
p
2+
1
x2+
p
2=
x1+x2+p
x1?
p
2+x2?
p
2+x1x2+
p2
4=
2
p（定值）．
当AB⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立．