若a>0，b>0，且a+b=1，则（1/a^2－1)*(1/b^2－1)的最小值？

若a>0，b>0，且a+b=1，则（1/a^2－1)*(1/b^2－1)的最小值？

其实不用那么麻烦  简单的函数求值域

因为a+b=1  ==>b=1-a 

因为a>0  b>0   ==>1-a>0 ==>a<1 

所以0<a<1

因为(1/a²-1)(1/b²-1)

=(1-a²)(1-b²)/a²b²

=(1-a²)[1-(1-a)²]/a²(1-a)²

=(1-a²)(2a-a²)/a²(1-a)²

=a(1-a)(1+a)(2-a)/a²(1-a)²

=(a+1)(a-2)/a(a-1)

=(a²-a-2)/(a²-a)

=1-/(a²-a)

而2/(a²-a)=2/[(a-1/2)²-1/4]  

因为0<a<1  而1/2π∈(0,1) 

所以a²-a≥-1/4 

 ==>2/(a²-a) ≤-8

===>  1-2/(a²-a)≥1-(-8)=9

所以1+2/(a²-a)≥9

即当a=b=1/2时  原式取得最小值9

快重读初中吧~！

若a>0,b>0,a+b=1,则1/a>1,1/b>1 1=a+b≥2ab^(1/2) ab^(1/2)≤1/2 ab≤1/4 1/ab≥4 当a=b=1/2取等号 (1/a^2-1)(1/b^2-1)=(1/a+1)(1/a-1)(1/b+1)(1/b-1) =(1/a+1)(1/b+1)(1/a-1)(1/b-1) =(1/ab+1/a+1/b+1)(1/ab-1/a-1/b+1) =(1/ab+(a+b)/ab+1)(1/ab-(a+b)/ab+1) =2/ab+1≥2*4+1=9 当a=b=1/2 (1/a^2-1)(1/b^2-1)的最小值是为9