【苦逼的文科生做高数】用极限定义证明下列各式

【苦逼的文科生做高数】用极限定义证明下列各式

证明：1.对任意的ε>0，解不等式│(2n²+1)/(3n²+1)-2/3│=1/(3n²+1)<1/n²<ε， 得n>1/√ε，取N≥[1/√ε]
于是，对任意的ε>0，总存在自然数N≥[1/√ε]。当n>N时，有│((2n²+1)/(3n²+1)-2/3│<ε
即lim(n->∞)[(2n²+1)/(3n²+1)]=2/3；
2.对任意的ε>0，解不等式│(9n³-1)/(5n^4+5n-1)│<│(10n³)/(5n^4)│=2/n<ε，得n>2/ε，取N≥[2/ε]
于是，对任意的ε>0，总存在自然数N≥[2/ε]。当n>N时，有│(9n³-1)/(5n^4+5n-1)│<ε
即lim(n->∞)[(9n³-1)/(5n^4+5n-1)]=0；
3.对任意的ε>0，解不等式│(6x²-7x+2)/(2x-1)+1/2│=3│x-1/2│<ε，得│x-1/2│<ε/3，取δ≤ε/3
于是，对任意的ε>0，总存在δ≤ε/3。当0<│x-1/2│<δ时，有│(6x²-7x+2)/(2x-1)+1/2│<ε
即lim(x->1/2)[(6x²-7x+2)/(2x-1)]=-1/2；
4.对任意的ε>0，解不等式│(8x^3+27)/(4x^2-6x+9)+1│=2│x+2│<ε，得│x+2│<ε/2，取δ≤ε/2
于是，对任意的ε>0，总存在δ≤ε/2。当0<│x+2│<δ时，有│(8x^3+27)/(4x^2-6x+9)+1│<ε
即lim(x->-2)[(8x^3+27)/(4x^2-6x+9)]=-1；
5.令│x+1│<3，则│x-1│<1
对任意的ε>0，解不等式│(x²+1)-2│=│(x+1)(x-1)│<│x+1│<ε，得│x+1│<ε，取δ≤min(3,ε)
于是，对任意的ε>0，总存在δ≤min(3,ε)。当0<│x+1│<δ时，有│(x²+1)-2│<ε
即lim(x->-1)(x²+1)=2；
6.令│x-2│<1，则(x+1)²<16
对任意的ε>0，解不等式│(x³-3)-5│=│(x-2)((x+1)²+3)│<16│x-2│<ε，得│x-2│<ε/16，取δ≤min(1,ε/16)
于是，对任意的ε>0，总存在δ≤min(1,ε/16)。当0<│x-2│<δ时，有│(x³-3)-5│<ε
7. 对任意的ε>0，解不等式│(x^6+3x^2)/(2x^6+3)-1/2│=│(6x²-3)/(2x^6+3)│<│(6x²)/(2x^6)│=3/│x│^4<ε，得│x│>(3/ε)^(1/4)，取A≥(3/ε)^(1/4)。
于是，对任意的ε>0，总存在A≥(3/ε)^(1/4)。当│x│>A时，有│(x^6+3x^2)/(2x^6+3)-1/2│<ε
即lim(x->∞)[(x^6+3x^2)/(2x^6+3)]=1/2；
8. 对任意的M>0，解不等式│(x^7+10x^6+1)/(3x^5-1)│>│x^7/(3x^5)│=x²/3>M，得x>√(3M)，取A≥√(3M)。
于是， 对任意的M>0，总存在A≥√(3M)。当x>A时，有│(x^7+10x^6+1)/(3x^5-1)│>M
　　　　即lim(x->+∞)[((x^7+10x^6+1)/(3x^5-1)]=∞。