考研数学 一个判断数列有界的题目 这里如何判断an>0的呢？

采用先猜想后证明的方法:
假设x[n]≤m,则x[n+1]=√(x[n]+a)≤√(m+a)≤m
由此解出:m≥(1+√(1+4a))/2
取m=(1+√(1+4a))/2,则m²=m+a
现在用归纳法证明对于任意x[n]有:x[n]≤m,其中m=(1+√(1+4a))/2
(1)当n=1时,x[1]=√a≤(1+√(1+4a))/2成立
(2)假设n=k时成立,即x[k]≤m
x[k+1]=√(x[k]+a)≤√(m+a)=√m²=m
即当n=k+1时也成立
综合(1)(2)知:x[n]≤(1+√(1+4a))/2

说明:对于证明x[n]有界的问题有时候可以直接用归纳法,有时不能用一般的归纳法,要首先把命题加强.例如:x[n]=1+1/2²+1/3²+...+1/n²,求证:x[n]<5/3
这个就不能用归纳法,因为当n=k+1时,x[k+1]=x[k]+1/(k+1)²<5/3+1/(k+1)²>5/3，无法继续归纳.但若将命题加强为:x[n]<5/3-1/n,则可用归纳法证明.
相比而言,本题是很特殊的.关于加强命题可以参考我的空间:
http://hi.baidu.com/sir_chen

两种方法本质上是一样的。积分区间的长度是1，积分变量是x，被积函数f(k)，f(k+1)与x无关，都是常函数，可以提取到积分号外面，也可以留在积分号内，这是积分的性质