△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过点C作AD的垂线交AB于点E,交AD于点F,帮求证:∠ADC=∠BDE

△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过点C作AD的垂线交AB于点E,交AD于点F,帮求证:∠ADC=∠BDE

如下图所示；

做辅助线如图所示；CG⊥AB

证明；

因为；△ABC是等腰直角三角形，CG是AB上的高，所以有；

　AG=CG=BG，CAB=ABC=ACG=BCG=45度

∵∠BCE+∠ACE=90度，∠CAH+∠ACE=90度，

∴∠BCE=∠CAH

又∵∠BCE+∠ECG=45度，∠CAH+∠HCG=45度

∴∠ECG=∠HCG

又 ∵∠AGC=∠CGE=90度 AG=CG

∴△AGH≌△CGE

∴GH=GE

∴CH=CG-HG=BG-BE=GE

又；∵∠ABC=∠BCG=45度，BD=CD

∴△CHD≌△BGD

∴∠ADC=∠BDE

解：作CH⊥AB于H交AD于P， ∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°， ∴∠CAB=∠CBA=45°． ∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA． 又∵BC中点为D， ∴CD=BD． 又∵CH⊥AB， ∴CH=AH=BH． 又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF， ∴∠PAH=∠ECH． 在△APH与△CEH中 ∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC， ∴△APH≌△CEH（ASA）． ∴PH=EH， 又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE， ∴CP=EB． ∵△ACB是等腰直角三角形， ∴∠B=45°， 即∠EBD=45°， ∵CH⊥AB， ∴∠PCD=45°=∠EBD， 在△PDC与△EDB中 PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB， ∴△PDC≌△EDB（SAS）． ∴∠ADC=∠BDE．

嘿嘿！此题我是借助一款网络智能辅导软件“辅导王”来解的，它是一款非常实用的辅导工具，含有逐步提示、解后反思、详细解答，特别是逐步提示、解后反思让我受益匪浅。逐步提示可以培养我们分析问题的能力，尤其是含辅助线的问题，它引导我们如何来作辅助线；解后反思给出了解决这一类问题的方法和技巧的总结，有了总结学习很轻松，提高很快哦！