已知椭圆中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P和Q,且OP垂直OQ,PQ长为(根号10)/2,求椭圆方程
高中数学 求椭圆方程
- 提问者网友:临风不自傲
- 2021-04-26 09:03
- 五星知识达人网友:酒安江南
- 2021-04-26 09:51
解:P(x1,y1), Q(x2,y2)
设椭圆方程: x^2/a^2+y^2/b^2=1
联立: y=x+1 x^2/a^2+y^2/b^2=1
(a^2+b^2)x^2+2xa^2+a^2-(ab)^2=0
x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2)
x1x2=[a^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)
向量OP=(x1,y1), 向量OQ=(x2,y2),
OP垂直OQ
x1x2+y1y2=0 y1y2=x1x2+(x1+x2)+1
∴2x1x2+(x1+x2)+1=0 ....(1)
PQ=√{(1+1^2)[(x1+x2) ^2-4x1x2]}=(√10)/2
(x1+x2)^2-4x1x2-5/4=0....(2)
联立: (1)(2)
x1+x2=-3/2 x1x2=1/4
or x1+x2=-1/2 x1x2=-1/4
x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2)=-3/2
x1x2=[a^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)=1/4
a^2=2 b^2=2/3
或x1+x2=-2a^2/(a^2+b^2)=-1/2
x1x2=[a^2-(ab)^2]/(a^2+b^2)=-1/4
a^2=2/3 b^2=2
∴ (x^2/2)+(3y^2/2)=1
或 (3x^2/2)+(y^2/2)=1
- 1楼网友:蓝房子
- 2021-04-26 11:05
设椭圆为mx^2+ny^2=1(m,n>0 且m n不相等)
联立直线与椭圆 消去y 得
(m+n)x^2+2nx+n-1=0 (1)
设p(x1,y1)q(x2,y2) op垂直oq得
x1x2+y1y2=0 即
2x1x2+(x1+x2)+1=0 (2)
由(1)式韦达定理
x1+x2=-2n/(m+n) (3)
x1x2=(n-1)/(m+n) (4)
(3)(4)代入(2)得
m+n=2 (5)
(5)代入(1)得
2x^2+2nx+n-1=0 (6)
|pq|^2=(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=2(x1+x2)^2=5/2
将(3)(4)代入得
n^2-2n+3/4=0
解得 n1=1/2 n2=3/2
所以
方程为:1/2x^2+3/2y^2=1 , 3/2x^2+1/2x^2=1