高中数学 求椭圆方程

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP垂直OQ，PQ长为（根号10）/2，求椭圆方程

解:P(x1,y1), Q(x2,y2)
设椭圆方程: x＾2/a＾2+y＾2/b＾2=1
联立: y=x+1 x＾2/a＾2+y＾2/b＾2=1
(a＾2+b＾2)x＾2+2xa＾2+a＾2-(ab)＾2=0
x1+x2=-2a＾2/(a＾2+b＾2)
x1x2=[a＾2-(ab)＾2]/(a＾2+b＾2)
向量OP=(x1,y1), 向量OQ=(x2,y2),
OP垂直OQ
x1x2+y1y2=0 y1y2=x1x2+(x1+x2)+1
∴2x1x2+(x1+x2)+1=0 ....(1)
PQ=√{(1+1＾2)[(x1+x2) ＾2-4x1x2]}=(√10)/2
(x1+x2)＾2-4x1x2-5/4=0....(2)
联立: (1)(2)
x1+x2=-3/2 x1x2=1/4
or x1+x2=-1/2 x1x2=-1/4
x1+x2=-2a＾2/(a＾2+b＾2)=-3/2
x1x2=[a＾2-(ab)＾2]/(a＾2+b＾2)=1/4
a＾2=2 b＾2=2/3

或x1+x2=-2a＾2/(a＾2+b＾2)=-1/2
x1x2=[a＾2-(ab)＾2]/(a＾2+b＾2)=-1/4
a＾2=2/3 b＾2=2

∴ (x＾2/2)+(3y＾2/2)=1
或 (3x＾2/2)+(y＾2/2)=1

设椭圆为mx^2+ny^2=1(m,n>0 且m n不相等)

联立直线与椭圆 消去y 得

（m+n）x^2+2nx+n-1=0 (1)

设p（x1，y1）q（x2，y2） op垂直oq得

x1x2+y1y2=0 即

2x1x2+(x1+x2)+1=0 (2)

由（1）式韦达定理

x1+x2=-2n/(m+n) (3)

x1x2=(n-1)/(m+n) (4)

(3)(4)代入（2）得

m+n=2 （5）

（5）代入（1）得

2x^2+2nx+n-1=0 (6)

|pq|^2=(x1+x2)^2+(y1+y2)^2=2(x1+x2)^2=5/2

将（3）（4）代入得

n^2-2n+3/4=0

解得 n1=1/2 n2=3/2

所以

方程为：1/2x^2+3/2y^2=1 , 3/2x^2+1/2x^2=1