已知定义在R上的函数f(X),对于任意的实数m,n,总有f(m+n)=f(m)*f(n),且x>0时,0<f(x

已知定义在R上的函数f(X),对于任意的实数m,n,总有f(m+n)=f(m)*f(n),且x>0时,0<f(x)＜1，证明f（0）=1，且x＜0时 f（x）＞1，证明f（x）在R上单调递减

证明:∵f(m+n)=f(m)*f(n). ∴ 将m=n=0代入 , 则可得 f(0)=f(0)^2 , 即 f(0)=0 或 f(0)=1

若f(0)=0 , 设任意m<0 ,n=0代入,则可得f(m)=f(m)*f(0)=0, 因为 当x<0时，f（x）>1 所以f(0)=0不成立

∴f(0)=1

设任意x>0 ,则-x<0 代入x和-x ,可得 f(0)=f(x)*f(-x)=1, 所以 f(-x)=1/f(x)

因为 当x>0时, 0<f(x)<1 , 所以 1/f(x) >1, 即 f(-x)>1 (-x<0)

∴ 当x<0时， f(x)>1

且f(x)>0在R上恒成立.

设任意x1、x2 ∈R , 且x1<x2

则f(x1)- f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)

=f(x1)-f(x1)*f(x2-x1)

=f(x1)*[1-f(x2-x1)] ∵x1<x2 ∴ x2-x1>0 ∵ 当x>0时, 0<f(x)<1 ∴0<f(x2-x1)<1

∴ 0<1- f(x2-x1)<1 又∵f(x)>0在R上恒成立. ∴f(x1)>0

∴f(x1)>f(x2)

∴f(x)在R上单调递减.

证明完毕.