已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),
求:(1)函数g(x)的定义域;(2)函数g(x)的值域.
已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),函数g(x)=[f(x)]2+f(x2),求:(1)函数g(x)的定义域;(2)函数g(x)的值域.
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解决时间 2021-04-05 20:35
- 提问者网友:杀手的诗
- 2021-04-05 02:38
最佳答案
- 五星知识达人网友:蓝房子
- 2021-04-05 03:26
解:(1)由题意f(x)定义域为{x|1≤x≤4},
因为1≤x≤4,所以由1≤x2≤4得-2≤x≤-1或1≤x≤2
则f(x2)的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2};
而[f(x)]2以的定义域与f(x)定义域相同,为{x|1≤x≤4}
所以,g(x)的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}∩{x|1≤x≤4}={x|1≤x≤2}
(2)设log2x=t,则[f(x)]2=(1+t)2,f(x2)=1+(log2x2)=1+2log2x=1+2t
g(x)=t2+2t+1+1+2t=t2+4t+2
因为x∈[1,2],所以t∈[0,1]
g(x)=t2+4t+2=(t+2)2-2
当t∈[0,1]时g(x)值域为[2,7]解析分析:(1)求复合函数g(x)的定义域实际上需要求[f(x)]2的定义域与f(x2)的定义域,求交集;(2)通过换元法将log2x=t转化为关于t的一元二次方程求值域问题.点评:本题主要考查了复合函数的定义域及值域的求法,属于中档题,也是易错题.
因为1≤x≤4,所以由1≤x2≤4得-2≤x≤-1或1≤x≤2
则f(x2)的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2};
而[f(x)]2以的定义域与f(x)定义域相同,为{x|1≤x≤4}
所以,g(x)的定义域为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}∩{x|1≤x≤4}={x|1≤x≤2}
(2)设log2x=t,则[f(x)]2=(1+t)2,f(x2)=1+(log2x2)=1+2log2x=1+2t
g(x)=t2+2t+1+1+2t=t2+4t+2
因为x∈[1,2],所以t∈[0,1]
g(x)=t2+4t+2=(t+2)2-2
当t∈[0,1]时g(x)值域为[2,7]解析分析:(1)求复合函数g(x)的定义域实际上需要求[f(x)]2的定义域与f(x2)的定义域,求交集;(2)通过换元法将log2x=t转化为关于t的一元二次方程求值域问题.点评:本题主要考查了复合函数的定义域及值域的求法,属于中档题,也是易错题.
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- 1楼网友:像个废品
- 2021-04-05 03:37
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