AB是圆O的直径，弦BC等于2，角ABC等于60度。

问题一：D是AB延长线上一个点。当BD等于多少时，CD与圆O相切。
问题二：若动点E以2厘米每秒的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1厘米每秒的速度从B点出发沿着BC方向运动，设运动时间为T秒（0＜T＜2）连接EF，当T为何值时，三角形BEF为直角三角形？

解：
第一问 ∵在三角形OBC中OC=BC，且∠OBC=60度
∴三角形OBC是等边三角形
∴半径=BC=2
∵CD与圆O相切
∴OC⊥CD
又∵∠COB=60°
∴OD=2CO=4
∴BD=2

第二问 ∵AB是直径
∴∠C=90°
当EF平行于AC时
△BEF是直角三角形
∴△BEF相似△BAC
∴BE比AB=BF比BC
∴(4-2T)/4=T/2
解得T=1
∴当T=1时，△BEF是直角三角形

解：（1）∵ab是⊙o的直径， ∴∠acb=90°, ∵∠abc=60°， ∴∠bac=180°-∠acb-∠abc=30°, ∴ab=2bc=4， 即⊙o的直径为4cm； （2）连接oc，如图（1）所示， 则oc=ob， ∵cd⊥co， ∴∠ocd=90°， ∵∠bac=30°， ∴∠cod=2∠bac=60°， ∴∠d=180°-∠cod-∠ocd=30°， ∴od=2oc=4， ∴bd=od-ob=4-2=2（cm）， ∴当bd长为2cm时，cd与⊙o相切； （3）根据题意得： be=（4-2t）cm，bf=tcm； ①当ef⊥bc时，如图（2）所示，△bef为直角三角形，此时△bef∽△bac， ∴，即：， 解得：t=1； ②当ef⊥ba时，如图（3）所示，△bef为直角三角形，此时△bef∽△bca， ∴，即：， 解得：， ∴当t=1s或时，△bef为直角三角形。

解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知） ∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60º（已知） ∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O的直径为4cm． （2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm． ∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC＝ 30º（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切． （3）根据题意得： BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm； 如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）：4＝t：2 解得：t＝1 如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）：2＝t：4 解得：t＝1.6 ∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．

这是2009年湖南省衡阳市中考数学25题 解：（1）∵AB是⊙O的直径（已知） ∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60º（已知） ∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O的直径为4cm． （2）如图10（1）CD切⊙O于点C，连结OC，则OC＝OB＝1/2·AB＝2cm． ∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC＝ 30º（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圆或等圆中一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半） ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的内角和等于180º） ∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当BD长为2cm，CD与⊙O相切． （3）根据题意得： BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm； 如图10（2）当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）：4＝t：2 解得：t＝1 如图10（3）当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）：2＝t：4 解得：t＝1.6 ∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．