已知二次函数f﹙x﹚的二次项系数为a，且方程f﹙x﹚=2x的解分别是-1，3，若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，

已知二次函数f﹙x﹚的二次项系数为a，且方程f﹙x﹚=2x的解分别是-1，3，若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式．

∵二次函数f﹙x﹚的二次项系数为a，且方程f﹙x﹚=2x的解分别是-1，3，
∴设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），
整理得f（x）=ax²+（2-2a）x-3a
由f（x）=ax²+（2-2a）x-3a=-7a，即ax²+（2-2a）x+4a=O方程有两个相等的实数根，
∴△=（2-2a）²-16a²=0
解得a=-1或a=
1
3
∴f（x）=-x²+4x+3或f（x）=
1
3x²+
4
3x-1

试题解析：

由方程f﹙x﹚=2x的解分别是-1，3，可得f（x）-2x=a（x+1）（x-3），由方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，则△=0，进而求出a．

名师点评：

本题考点： 二次函数的性质．
考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知构造关于a的方程是解答的关键．