在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的

在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：y 2 =2px（p＞0）的焦点，圆Q过O点与F点，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为 3 2 ．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△OAB的面积；（3）已知抛物线上一点M（4，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断：直线DE是否过定点？说明理由．

（1）∵ F(
p
2 ，0) ，
∴ 圆心Q在线段OF的垂直平分线x=
p
4 上
又∵ 准线方程为：x=-
p
2 ，
∴
p
4 -(-
p
2 )=
3
2 ，得p=2，
∴抛物线C：y 2 =4x；
（2）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），过F倾斜角为60°的直线L：y=


3 （x-1）．
由






y 2 =4x
y=


3 (x-1) 得： y 2 -
4
3


3 y-4=0 ，
∴ y 1 + y 2 =
4
3


3 ， y 1 y 2 =-4 ，
∴ S △ =
1
2 ×|OF|×| y 2 - y 1 | =
1
2 ×1×


( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 =
1
2 ?



16
3 +16 =
4
3


3 ；
（3）设直线 DE：






x=my+t
y 2 =4x ，可得y 2 -4my-4t=0，则△=16m 2 +16t＞0（*）
设D（x 1 ，y 1 ），E（x 2 ，y 2 ），则y 1 +y 2 =4m，y 1 y 2 =-4t，
∵ 0=



MD ?



ME =( x 1 -4， y 1 -4)?( x 2 -4， y 2 -4) =x 1 x 2 -4（x 1 +x 2 ）+16+y 1 y 2 -4（y 1 +y 2 ）+16
=
y 1 2
4 ?
y 2 2
4 -4(
y 1 2
4 +
y 2 2
4 )+16+ y 1 y 2 -4( y 1 + y 2 )+16 =
( y 1 y 2 ) 2
16 -( y 1 + y 2 ) 2 +3 y 1 y 2 -4( y 1 + y 2 )+32
=t 2 -16m 2 -12t+32-16m，
即t 2 -12t+32=16m 2 +16m得：（t-6） 2 =4（2m+1） 2 ，
∴t-6=±2（2m+1）即：t=4m+8或t=-4m+4
代入（*）式检验均满足△＞0，
∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或：x=m（y-4）+4，
∴直线过定点（8，-4）．（定点（4，4）不满足题意，故舍去）

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