如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩
如何证明幂等矩阵的迹等于它的秩
答案:1 悬赏:70 手机版
解决时间 2021-08-23 19:34
- 提问者网友：你独家记忆
- 2021-08-22 18:47
最佳答案
- 五星知识达人网友：酒者煙囻
- 2021-08-22 18:57
先证其特征值只能为0和1
设k是他的特征值,a为其对应的特征向量
A^2a=Aka=k^2a
因为A^2=A,故A^2a=Aa=ka
(k^2-k)a=0,因为a为非零向量故k=0或1
再证,矩阵的秩等于其非零特征值的个数.
因为A(A-E)=0
故n=r(A-(A-E))=r(A-E)
但1的重数加0的重数不大于n,夹逼得1的重数=r(A)
命题成立.
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