已知函数f(x)=x2/(x-2）(x≠2)求f(x)的值域 是否存在点P（a,b）使得f(x)图象关于P对称

RT RT RT RT

由y=x^2/(x-2),去分母:
x^2-yx+2y=0
delta=y^2-8y=y(y-8)>=0,
因此定义域为y>=8 or y<=0
若函数图像关于P 对称,则定义域及值域都关于此点对称
因此只可能为a=2, b=(8+0)/2=4
y-4=x^2/(x-2)-4=(x^2-4x+8)/(x-2)=(x-2)+4/(x-2)
y'=y-4, x'=x-2
y'=x'+4/x' , y'(-x')=-y'(x')
因此函数图像关于P (2,4)对称,

f(x)=x²/(x-2)

f(x)=(x²-4x+4+4x-4)/(x-2)

f(x)=(x²-4x+4+4x-8+4)/(x-2)

f(x)=(x-2)+4+4/(x-2)

f(x)=(x-2)+4/(x-2)+4

当x＞2时，f(x)≥2×2+4=8,当且仅当x=4时等号成立

当x＜2时，f(x)≤-2×2+4=0,当且仅当x=0时等号成立

所以f(x)的值域为(-∞,0]∪[8,+∞)

假设存在p(a,b)使得f(x)的图像关于点p对称

点(x,y)是f(x)图像上的任意一点

则点(2a-x,2b-y)也在图像上

y=x²/(x-2)……①

2b-y=(2a-x)²/(2a-x-2)……②

把①代入②得到：2b-x²/(x-2)=(2a-x)²/(2a-x-2)

(2bx-4b-x²)/(x-2)=(4a²-4ax+x²)/(2a-x-2)

(2bx-4b-x²)(2a-x-2)=(x-2)(4a²-4ax+x²)

4abx-2bx²-4bx-8ab+4bx+8b-2ax²+x³+2x²=4a²x-4ax²+x³-8a²+8ax-2x²

x³+(2-2a-2b)x²+4abx+8b-8ab=x³+(-4a-2)x²+(4a²+8a)x-8a²

对应系数相等：a=2，b=4

所以存在点p(2,4)使得f(x)图像关于点p对称