高中函数综合性问题

●已知f(x)=(a-1)/(a+1) ,(a＞0且a≠1）

①求f(x)的值域；

②判断f(x)的奇偶性；

③判断f(x)的单调性。

(1)f(x)=1-2/(a+1)

a+1>0且≠2

-2/(a+1)>-2

f(x)>-1,且≠0

（2)f(-x)=1-2/(    a^-x+1)=1-2a/(a+1)=(1-a)/(a+1)

f(x)+f(-x)=0

f(x)为奇函数

（3）0<a<1时，a为递减函数，f(x)=1-2/(a+1) 为递减函数

a>1时，a为递增函数，f(x)=1-2/(a+1)为递增函数

1、值域

f(x)=(a-1)/(a+1) =1-2/(a+1)<1

而 0<2/(a+1)<2

所以

a-1)/(a+1) =1-2/(a+1)>-1

综述  -1<f(x)<1

2、易知f(x)=-f(-x)  所以f(x)为奇函数

3、当a>1时，f(x)为增函数

当0<a<1时，f(x)为减函数

解 (1)求f(x)的值域.  因为0<a^x<+∞,所以    f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1,    f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1,  因此,f(x)的值域为(-1,1).    (2)判断f(x)的奇偶性.  因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且    f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)  =-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),    所以,f(x)是奇函数.  (3)讨论f(x)的单调性.  (i)当a>1时    设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是    f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)    =[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]    =2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]>0,  所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减.    由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.  因此,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.    (ii)当0<a<1时  设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是    f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)    =[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]    =2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0,  所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增.    由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.  因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.    综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减. 懂了吗？ 希望能帮到你  O(∩_∩)O~