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在()÷7中,如果有余数,余数最大的是多少

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解决时间 2021-04-04 06:55
在()÷7中,如果有余数,余数最大的是多少
最佳答案
多项式余数定理是指一个多项式 f(x) 除以一线性多项式 x - a 的余数是 f(a)。例如,(5x^3 + 4x^2 - 12x + 1) / (x - 3) 的余数是 5(3)^3 + 4(3)^2 - 12(3) + 1 = 136

学习研究中国文化,感叹中国人的聪明才智差不多全用在了社会科学上面。古代文人秀才们醉心诗词歌赋,擅长对联书法,讲究文采韵律,而轻视对数学等自然科学的研究。
  学习研究现代数学,感叹以外国科学家名字命名的定理比比皆是,仿佛进入西方世界。作为五千年文明古国,我们对自然科学的贡献不成比例。
  当然情况也有例外。
  在数学发展史上,剩余问题(即:在整数除法里,一个数同时除以几个数,整数商后,均有剩余;已知各除数及其对应的余数,要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题)曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决,是我们中国人迈出了开拓性的第一步。
一、中国余数定理的出处
  早在1500年前,我国古代数学名著《孙子算经》中,记载了这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”这是世界上最早提出剩余问题的书面记载。用现在的话来说就是:“有一批物品,3个3个地数余2个,5个5个地数余3个,7个7个地数余2个,问这批物品最少有多少个”这个问题怎么求解呢?后来数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
    三人同行七十(70)稀,
    五树梅花廿一(21)枝,
    七子团圆正月半(15),
    除百零五(105)便得知。
  歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:
    70×2+21×3+15×2-105×2=23
  《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河,但由于题目比较简单,甚至用试猜的方法也能求得,所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的,是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”,系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。至此,由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题,才真正得到了一个普遍的解法,并逐渐受到世界学者的瞩目。因为学术界公认它是中国人首先发现的,于是在西方数学史著作中正式被称为“中国余数定理(Chinese Remainder Theorem)”。中国余数定理是我国对数学科学作出的重大贡献,为中国人在现代数学中争得了一席之地,令人眼前一亮。
二、中国余数定理的算理
  ⑴如果被除数加上除数的整数倍,除数不变,则余数不变。即:如果a除以b余数为c,那么(a+nb)除以b余数也为c(c〈b)。
  ⑵如果被除数扩大几倍,除数不变,则余数也扩大同样的倍数。即:如果a除以b余数为c,那么na除以b余数为nc(c〈b,nc〈b)。
  ⑶如果整数a除以自然数b(b≠0),余数r仍不小于b,则r除以b的余数等于a除以b所得余数。

  对于《孙子算经》中的“物不知数”问题:先从5和7、3和7、3和5的公倍数中相应地找出分别被3、5、7除均余1的较小数70、21、15。即
    70÷3=23……余1,
    21÷5=4……余1,
    15÷7=2……余1。
  再用找到的三个较小数分别乘以被3、5、7除所得的余数的积连加,
    70×2+21×3+15×2=233。
  最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数。
    233÷105=2……余23,
  这个余数23就是合乎条件的最小数。
  以上三个步骤适合于解类似的所有问题。

  例如:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
  题中3、4、5三个数两两互质。
  则[4,5]=20;[3,5]=15;[3,4]=12;[3,4,5]=60。
  为了使20被3除余1,用20×2=40;
  为了使15被4除余1,用15×3=45;
  为了使12被5除余1,用12×3=36。
  然后,40×1+45×2+36×4=274,
  因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。
三、中国余数定理的应用
  例1:一筐苹果,如果按5个一堆放,最后少2个。如果按6个一堆放,最后也少2个。如果按7个一堆放,还多出1个。这筐苹果至少有多少个。
  解:苹果数除以5余3,除以6余4,除以7余1。
    从6和7的公倍数42,84,126,……中找到除以5余1的数是126。
    从5和7的公倍数35,70,105,140,175……中找到除以6余1的数是175。
    从5和6的公倍数30,60,90,120,……中找到除以7余1的数是120。
    5,6,7的最小公倍数是5×6×7=210。
    所以,这筐苹果至少有
    126×3+175×4+120×1-210×5=148个。

  例2:一盒乒乓球,三个三个数多二个,五个五个数多四个,七个七个数多六个,问至少有多少乒乓球
  解:设至少有x个乒乓球,则x+1是3,5,7的最小公倍数[3,5,7]=3×5×7=105。
    x+1=105,
    x=104。
    所以这盒乒乓球至少有104个。

  例3:有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时,筐内最后都是剩一个鸡蛋;当七个七个取出时,筐里最后一个也不剩。那么筐内原来至少有多少个鸡蛋。
  解:先求出2,3,4,5的最小公倍数是60,然后用试验法求出60的倍数加1能被7整除的数
    60+1=61
    60×2+1=121
    60×3+1=181
    60×4+1=241
    60×5+1=301
    其中301能被7整除。所以筐内原来至少有301个鸡蛋。
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