已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,当-1≤x≤1时,有-1≤f(x)≤1.求证:当-2≤x≤2时,有-7≤f(x)≤7

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,当-1≤x≤1时，有-1≤f(x)≤1.求证：当-2≤x≤2时，有-7≤f(x)≤7

(1)因为∣2b∣=|a+b+c-（a-b+c）|
=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2，
所以∣b∣≤1
（2）由f(0)=-1得c=-1，
由∣f(x)∣≤1得f(x)≥-1=f（0），
因此f(x)在x∈[-1,1]时的最小值为f（0），
所以f(x)关于y轴对称，b=0，再由f（1）=1可得a=2，
f（x）=2x^2-1

 根据条件得: |f(1)|=|a+b+c|≤1 |f(0)|=|c|≤1 |f(-1)|=|a-b+c|≤1 设f(2)=xf(1)+yf(-1)+zf(0) =4a+2b+c 则:(x+y)a+(x-y)b+(x+y+z)c=4a+2b+c 解之:x=3,y=1,c=-3 则:|f(2)|=|3f(1)+f(-1)+3f(0)| ≤|3f(1)|+|f(-1)|+|3f(0)| ≤3+1+3 ≤7