【热学第三版李椿答案】热学第二版(李椿)第三章思考题、课后习题答案要文本、不要网站_...

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【答案】 第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律 3-1 设有一群粒子按速率分布如下：粒子数Ni24682速率Vi（m/s）1.002.003.004.005.00 试求(1)平均速率V；（2）方均根速率 （3）最可几速率Vp （1）平均速率：(m/s) (2) 方均根速率(m/s)3-2 计算300K时,氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率. 3-3 计算氧分子的最可几速率,设氧气的温度为100K、1000K和10000K. 代入数据则分别为：T=100K时 T=1000K时 T=10000K时 3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率,求T2/T1.因 由题意得： ∴T2/T1= 3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s） 设1.0cm3氮气中分子数为N,速率在500~501m/s之间内的分子数为△N,由麦氏速率分布律：△ N= ∵ Vp2= ,代入上式 △N= 因500到501相差很小,故在该速率区间取分子速率V =500m/s,又 △V=1m/s（=1.24）代入计算得：△N=1.86×10－3N个 3-6 设氮气的温度为300℃,求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比. 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s由5题计算过程可得：△V1= △N2= ∴ △N/△N2= 其中VP= m/s =1.375,=0.687 ∴ 解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大,可不用近似法,用积分法求△N1,△N2 dN= △N1= △N2= 令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果:∴ △N1= （1） △N2= 　　（２）其中VP= 查误差函数表得： erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722将数字代入（１）、（２）计算,再求得： 3-7 试就下列几种情况,求气体分子数占总分子数的比率：（1） 速率在区间vp～1.0vp1内（2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内设气体分子总数为N,在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3（1） 由麦氏速率分布律：△ N= 令v2=1.01vp,vi=vp, ,则 , ,利用16题结果可得；查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468∴ （2） 由麦氏速率分布律：∴ 令 , , ∴ 利用误差函数：（3）令 ,由麦氏速度分布律得： 3-8根据麦克斯韦速率分布函数,计算足够多的点,以dN/dv为纵坐标,v为横坐标,作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线. 由麦氏速率分布律得：将π=3.14,N=NA=6.02×1023T=100Km=32×10-3代入上式得到常数：A= ∴ （1）为了避免麻烦和突出分析问题方法,我们只做如下讨论：由麦氏速率分布律我们知道,单位速率区间分布的分子数随速率的变化,必然在最可几速率处取极大值,极大值为：令 则得 又在V=0时,y=0,V→∞时,y→0又 ∵T1=100K＜T2=400K∴ ＜ 由此作出草图3-9根据麦克斯韦速率分布律,求速率倒数的平均值 . 3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔,容器贮有100℃的水银,容器外被抽成真空,已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg.（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率.（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出?（1） （2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数,所以每小时从小孔逸出的分子数为： 其中 是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数, 是小孔面积,t=3600s,故 ,代入数据得： N=4.05×1019（个）∴ 3-11如图3-11,一容器被一隔板分成两部分,其中气体的压强,分子数密度分别为p1、n1、p2、n2.两部分气体的温度相同,都等于T.摩尔质量也相同,均为μ.试证明：如隔板上有一面积为A的小孔,则每秒通过小孔的气体质量为：证明：设p1＞p2,通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数. 从1跑到2的分子数： 从2跑到1的分子数： 实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）因t=1秒, , T1=T2=T∴ 若P2＞P1,则M＜0,表示分子实际是从2向1转移. 3-12 有N个粒子,其速率分布函数为(1)作速率分布曲线.(2)由N和v0求常数C.(3)求粒子的平均速率.（1） 得速率分布曲线如图示（2）∵ ∴ 即 （3） 3-13 N个假想的气体分子,其速率分布如图3-13所示（当v＞v0时,粒子数为零）.（1）由N和V0求a.（2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数.（3） 求分子的平均速率. 由图得分子的速率分布函数： ( ) ( ) f(v)= ( )(1) ∵ ∴ (2) 速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数 3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： 其中 证明：∴ 3-15设气体分子的总数为N,试证明速度的x分量大于某一给定值vx的分子数为： （提示：速度的x分量在0到 之间的分子数为 ）证明：由于速度的x分量在区间vx～vx +dvx内的分子数为：故在vx～ 范围内的分子数为： 由题意： 令 利用误差函数得：∴ 3-16 设气体分子的总数为N,试证明速率在0到任一给定值v之间的分子数为：其中 ,vp为最可几速率.[提示： ]证明：令 ,则 ∴ 由提示得： ∴ 3-17 求速度分量vx大于2 vp的分子数占总分子数的比率. 设总分子数N,速度分量vx大于2 vp的分子数由15题结果得：其中 可直接查误差函数表得：erf（2）=0.9952也可由误差函数： erf（z）= 将z=2代入计算得：erf（2）=0.9752∴ 3-18 设气体分子的总数为N,求速率大于某一给定值的分子数,设（1）v=vp（2）v=2vp,具体算出结果来.（1）v=vp时,速率大于vp的分子数：利用16题结果：这里 ∴ （2）v=2vp时, ,则速率大于2vp的分子数为： 3-19 求速率大于任一给定值v的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数.由18题结果可得单位体积中速率大于v的分子数为：在垂直x轴向取器壁面积dA,则速率大于v能与dA相碰的分子,其vx仍在0～ 间,由《热学》P30例题,每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v的分子数为： 3-20 在图3-20所示的实验装置中,设铋蒸汽的温度为T=827K,转筒的直径为D=10cm,转速为ω=200πl/s,试求铋原子Bi和Bi2分子的沉积点P′到P点（正对着狭缝s3）的距离s,设铋原子Bi和Bi2分子都以平均速率运动.铋蒸汽通过s3到达P′处的时间为：在此时间里R转过的弧长为：∵ ∴ 代入数据得：3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示为1.0atm,温度为270C；起飞后压力计指示为0.80atm,温度仍为27 0C,试计算飞机距地面的高度. 根据等温气压公式： P=P0e - 有In = - ∴ H = - In ?? 其中In =In = -0.223,空气的平均分子量u=29.∴H= 0.223× =2.0×103(m)3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%?设空气的温度为0 0C. 由题意知： =0.75 故H = -In ?? 代入数据得：H =2.3×103(m)3-23 设地球大气是等温的,温度为t=5.0 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高.已知空气的平均分子量为28.97. H = - In ?? 代入数据得：H=2.0×103(m)3-24 根据麦克斯韦速度分布律,求气体分子速度分量vx的平均值,并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能. （1） x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e - vx2dv x = v -1p∫∞ 0vx2 e - vx2dv x查《热学》附录3-1表得： x= Vp-1( )3/2= 同理可得： y= x= (2)分子总的平动能： 2= 2= = m x= 同理得： = = 可见,气体分子的平均动能按自由度均分,都等于 KT.3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能,试根据麦克斯韦速率分布律证明,平动能在区间ε～ε+dε内的分子数占总分子数的比率为：f(ε)dε= (KT) -3/2ε ??e-ε/KT??dε 根据上式求分子平动能ε的最可几值. 证明：（1） ∵ f(v)dv =4∏( )3/2??e v2v2dv = (KT) -3/2??( v2)1/2??e-mv2/2KT??d( ) ∵ ε= mv2 故上式可写作： F(ε)dε= (KT) -3/2??ε ??e -ε/KT??dε(2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值. = (KT) -3/2 [ε ??e -ε/KT(- )+e- ?? ε- ] = (KT) -3/2e - ( ε- -ε /KT)=0 ∴ ε- -ε =0 得: εp = ε = 3-26 温度为27 0C时,一摩尔氧气具有多少平动动能?多少转动动能? 氧气为双原子气体,在T=300K下有三个平动自由度,两个转动自由度. 由能均分定理得： ε= RT = ×8.31×300 = 3.74×103 (J) = RT = 8.31×300 = 2.49×103(J) 3-27 在室温300K下,一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少?一克氢和一克氮的内能各是多少? U氢= RT =6.23×103(J) U氮= RT =6.23×103(J) 可见,一摩气体内能只与其自由度（这里t=3,r=2,s=0）和温度有关. 一克氧和一克氮的内能： U= ∴U氢= = = 3.12×103(J) U氮= = = 2.23×103(J)3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与M=3.00g的氢气的混合气体的定容比热 设Cv1 ‘、Cv2 ‘分别为水蒸气和氢气的定容比热,Cv1 、Cv2分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量.在常温下可忽略振动自由度,则有： Cv1= R =3R ∴Cv1’= = Cv2= R =2.5R Cv2’= = Cv = = = ( + ) = 5.9 (J/gK)3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来,试推导由定容比热计算分子质量的公式.设氩的定容比热Cv = 75Cal??Kg-1??K-1,求氩原子的质量和氩的原子量. （1）一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说： Cv = (t+r+2s)R 分子质量m = = ?? = (t+r+2s)R?? = (t+r+2s) ?? (Cv=75cal/kg??k) (2) 氩是单原子分子,故Cv = R =3(Cal/mol??K) 故氩的原子量u= = 4.0×10-2(Kg/mol)

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