已知数列an满足a1=1,an-an-1=1/n(n+1)

已知数列an满足a1=1,an-an-1=1/n(n+1)

an - an-1=1/n(n+1) =1/n - 1/n+1
an-1 - an-2=1/n-1 - 1/n
...
a4-a3=1/4-1/5
a3-a2=1/3-1/4
a2-a1=1/2-1/3
等号两边分别累加
（an - an-1）+（an-1 - an-2）+...(a4-a3) + (a3-a2) + (a2-a1) = an -a1 = 1/2 - 1/n+1
an-1 = 1/2 - 1/n+1
an=1 + 1/2 - 1/n+1=3/2 - 1/n+1)

an-an-1=1/n(n+1)=1/n-1/(n-1)
则an=（an-an-1）+（an-1-an-2)+(an-2-an-3)+........(a2-a1)+a1=1/n

an-an-1=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
……
a3-a2=1/2-1/3
a2-a1=1-1/2
相加
an-a1=1/2-1/(n+1)
an=3/2-1/(n+1)
a2n-1=3/2-1/(2n)

an-a(n-1)=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
a2-a1=1/2-1/3
a2=1+1/2-1/3
a3-a2=1/3-1/4
a3=1+1/2-1/4
a4-a3=1/4-1/5
a4=1+1/2-1/5
an=1+1/2-1/(n+1)=3/2-1/(n+1)

an-a(n-1)=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
an +1/(n+1)=a(n-1) +1/n
a1 +1/2=1+1/2=3/2
数列{an +1/(n+1)}是各项均为3/2的常数数列。
an +1/(n+1)=3/2
an=3/2 -1/(n+1)
n=1时，a1=3/2 -1/2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=3/2 -1/(n+1)。
补充：
a(2n-1)=3/2 -1/[(2n-1)+1]=3/2 -1/(2n)