A是n阶矩阵，证明A有n个线性无关的特征向量时， A可对角化。求大神讲的明白一点～
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解决时间 2021-04-07 21:26
- 提问者网友：寂寞梧桐
- 2021-04-07 04:47
A是n阶矩阵，证明A有n个线性无关的特征向量时， A可对角化。求大神讲的明白一点～
最佳答案
- 五星知识达人网友：罪歌
- 2021-04-07 05:21
设A的特征向量为x1,x2,...,xn, 对应的特征值为s1,s2,...,sn
则Ax1 =s1 x1, Ax2=s2x2 ..., Axn = snxn
或A(x1,x2,...,xn) = (x1,x2,...,xn)diag (s1, s2,...,sn)
diag(s1, s2,...,sn)表示(s1, s2,...,sn)为对角元素的方阵
因为x1,x2,...,xn线性无关，所以矩阵(x1,x2,...,xn)满秩可逆
所以
(x1,x2,...,xn)'A(x1,x2,...,xn) = diag(s1,s2,...sn)
其中(x1,x2,...,xn)'为(x1,x2,...,xn)的逆矩阵
则Ax1 =s1 x1, Ax2=s2x2 ..., Axn = snxn
或A(x1,x2,...,xn) = (x1,x2,...,xn)diag (s1, s2,...,sn)
diag(s1, s2,...,sn)表示(s1, s2,...,sn)为对角元素的方阵
因为x1,x2,...,xn线性无关，所以矩阵(x1,x2,...,xn)满秩可逆
所以
(x1,x2,...,xn)'A(x1,x2,...,xn) = diag(s1,s2,...sn)
其中(x1,x2,...,xn)'为(x1,x2,...,xn)的逆矩阵
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