解方程x+1/x²-2x²/x+1=1

解方程x+1/x²-2x²/x+1=1

换元法


解：
设(x+1)/x²=t，则x²/(x+1)=1/t，于是
t-2/t=1
t²-2=t
t²-t-2=0
(t+1)(t-2)=0
t=-1或2
于是
(x+1)/x²=-1或(x+1)/x²=2
-x²=x+1或2x²=x+1
x²+x+1=0或2x²-x-1=0
x²+x+1=0无解
2x²-x-1=0
(x-1)(2x+1)=0
x-1=0或2x+1=0
x1=1   x2=-1/2

用“换元法”来做

解：设（x+1）/x²＝y，则— 2x² / (x+1)=－2/y

原方程可变形为：y-(2/y)=1

整理，得  y²-y-2=0

(y-2)(y+1)=0

y=2或y=-1

当y=2时，(x+1)/x²=2，2x²-x-1=0，(2x+1)(x-1)=0，2x+1=0，x-1=0，解得x=-0.5或x=1

当y=-1时，(x+1)/x²=-1，x²+x+1=0，无解

令t=(x+1)/x^2 方程化为;t-2/t=1 即t^2-t-2=0 (t-2)(t+1)=0 t=2, -1 当t=2时，2x^2-x-1=0, 得：(2x+1)(x-1)=0 得：x=-1/2, 1 当t=-1时，x^2-x-1=0, 得：x=(1+√5)/2, (1-√5)/2 经检验，共有以上4个根