【整式的乘法与因式分解】整式的乘法和因式分解的所有重要公式还有技巧

【整式的乘法与因式分解】整式的乘法和因式分解的所有重要公式还有技巧

【答案】 因式分解,也叫分解因式,
　　因式分解,是主谓短语,
　　分解因式,是动宾短语,
　　就是把多项式,变成一个个式子相乘的形式；
　　如果需要示意图,就看看汉字 “目”、“月” 和 “朋”、“用”,
　　“月” 和 “目” 就是长为 3,宽分别是 a、b 的两个长方形,
　　写成 3a + 3b 像 “朋” 就是一个两项式,
　　如果 “月” 和 “目” 拼成一个 “用”,就是 3(a + b) 的一个长方形,
　　把 3a + 3b 两项相加的式子变成 3(a+b) 乘积的式子,就是因式分解.
　　分解因式,也正如分解质因数,
　　分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因数中去掉合数；
　　分解因式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,
　　具体方法,
　　【第一步,提取公因式】
　　这也是最简单的方法,
　　公因式不仅有：系数、字母、单项式（这些相信我们都熟悉了）,
　　而且,公因式还可能是一个式子,
　　例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)
　　原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
　　= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5
　　= 5( a + b )( m + n )
　　【第二步,公式法】
　　就是把整式乘法的公式倒过来用,
　　a - b = (a - b)(a + b) ——平方差,
　　a + 2ab + b = (a + b) ——完全平方和,
　　a - 2ab + b = ( a - b ) ——完全平方差,
　　a' + b' = (a + b)(a - ab + b) ——立方和,
　　a' - b' = ( a - b )(a + ab + b) ——立方差,
　　熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,
　　【平方差】还有两个完全平方相减的式子,
　　例如 9( x + y ) - 4( x + y - 1 )
　　= [ 3(x + y) - 2(x + y - 1) ][ 3(x + y) + 2(x + y - 1) ]
　　= ( 3x + 3y - 2x - 2y + 2 )( 3x + 3y + 2x + 2y - 2 )
　　= ( x + y + 2 )( 5x + 5y - 2 )
　　【完全平方式】应该注意
　　( a - b )
　　= [ - ( b - a ) ] = ( b - a )
　　= a - 2ab + b = b - 2ab + a
　　而且
　　( a - b ) = [ a + ( - b ) ]
　　= a - 2ab + b = a + 2a(-b) + (-b)
　　公式或许就只有一个
　　( a + b ) = a + 2ab + b
　　不管是和的平方,还是差的平方,
　　最先也都是平方和,
　　a - 2ab - b 就错了.
　　【立方和、立方差】
　　原来两个三次项,分解因式变成五个项,
　　两个是一次项、三个是二次项,
　　a' + b' = ( a + b )( a - ab + b )
　　a' - b' = ( a - b )( a + ab + b )
　　我们看看特征,
　　两个一次项 a 和 b,正负与原来的三次项 a' 和 b' 一样；
　　三个二次项,a + b 还是平方和,中间项 ab 就要与一次项相反.
　　或者,
　　看分解因式的五个项,
　　立方和,只有二次项 ab 为负,其余全都是正；
　　立方差,除了一次项 b 为负,其余全都是正.
　　想一想,
　　二次项 ab,如果立方和换成 +ab,立方差换成 -ab,
　　再变成 2 不就成了完全立方吗?怎么是立方和、立方差呢?
　　( a + b )( a + 2ab + b ) =( a + b )( a + b ) =( a + b )'
　　( a - b )( a - 2ab + b ) = ( a - b )( a - b ) = ( a - b )'
　　这样看来,立方和是 -ab,立方差是 +ab,就是要加大与完全立方的差别啊!
　　为了熟悉公式,我们也应该取简单的数字算一算,
　　2' - 1' = 8 - 1
　　= 7 = 1 X 7
　　= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )
　　= ( 2 - 1 )( 2 + 2 + 1 )
　　相信我们都知道,分解因式是这五个项,
　　相对困难就是正负符号,不知怎样确定,
　　这样只要算一算,就能够帮助自己确定符号了.
　　【第三步,二次三项式分解】
　　我建议,十字相乘法,结合分组分解法一同使用,
　　正如 x + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
　　把单项式 mx = (a+b)x ,拆开变成 ax + bx ,
　　就能够分组提公因式进行分解.
　　【】关键是看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二,
　　如果常数项是正数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的和；
　　如果常数项是负数,一次项的绝对值,就是拆开两个项的差.
　　前面已经说过,完全平方,b 必然都是 +b,
　　x + 10x + 25 = ( x + 5 )
　　x - 10x + 25 = ( x - 5 )
　　再看看 x ± 10x ± 24,分解因式 4 种情况都有,
　　【】如果常数项是正数,
　　一次项拆开两个项的绝对值,就都比原来小；
　　x + 10x + 24
　　= x + 4x + 6x + 24
　　= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
　　= ( x + 4 )( x + 6 )
　　常数项 +24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 4x 与 6x 的和,
　　x - 10x + 24
　　= x - 4x - 6x + 24
　　= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
　　= ( x - 4 )( x - 6 )
　　【】如果常数项是负数,
　　一次项的绝对值,就是拆开两个项的相差数；
　　x - 10x - 24
　　= x - 12x + 2x - 24
　　= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
　　= ( x - 12 )( x + 2 )
　　常数项 -24 不变,一次项 ±10x 就都是拆开 12x 与 2x 的相差数,
　　x + 10x - 24
　　= x + 12x - 2x - 24
　　= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
　　= ( x + 12 )( x - 2 )
　　这样我们也就发现,
　　【】为什么看常数项的正负,决定一次项怎样一分为二呢?这是因为：
　　常数项不变,只是一次项变成相反数,一次项一分为二的绝对值就不变；
　　一次项不变,只要常数项变成相反数,一次项就要改变一分为二的方式；
　　像这样的二次三项式,还有
　　x ± 5x ± 6,
　　x ± 10x ± 24,
　　x ± 15x ± 54,
　　x ± 20x ± 96,
　　x ± 25x ± 150,
　　……
　　其实,它们都是 x ± 5xy ± 6y ,
　　这个式子千变万化,还有
　　6x ± 5x ± 1,
　　6x ± 10x ± 4,
　　6x ± 15x ± 9,
　　6x ± 20x ± 16,
　　6x ± 25x ± 25,
　　……
　　这样的式子还不只一个,还有
　　8x ± 26x ± 15,
　　8x ± 52x ± 60,
　　8x ± 78x ± 135,
　　8x ± 104x ± 240,
　　8x ± 130x ± 375,
　　……
　　其实,这样也都是 8x ± 26xy ± 15y ,
　　这个千变万化的式子,同样还有
　　15x ± 26x ± 8,
　　15x ± 52x ± 32,
　　15x ± 78x ± 72,
　　15x ± 104x ± 128,
　　15x ± 130x ± 200,
　　……
　　它们包括了多种具体情况,
　　让我们也都取值做一做,
　　感受一下其中的奥秘吧.
　　【】二次三项式,分解因式,
　　这样也是技巧、窍门,
　　关键就看 c 与 a 的正负,
　　只要熟悉这个方法,
　　x + bx + c,
　　ax + bx + c,
　　ax + bxy + cy,
　　我们都同样做得方便.
　　【复杂的多项式,配方法】
　　如果上面这些方式方法都不熟悉,
　　或者二次三项式看起来复杂,不知所措,
　　还可以使用配方法,
　　我们还是看看 x - 10x - 24 ,
　　x - 10x - 24
　　首先配方,把二次项和一次项,变成完全平方,
　　= x - 10x + 5 - 25 - 24
　　= ( x - 5 ) - 49
　　分解因式,用平方差公式
　　= ( x - 5 ) - 7
　　= ( x - 5 - 7 )( x - 5 + 7 )
　　= ( x - 12 )( x + 2 )
　　【分解之后,还要检验】
　　确保分解彻底,因式分解变形正确,
　　例如 x^6 - y^6,应该
　　= ( x' - y' )( x' + y' )
　　= ( x - y )( x + y )( x - xy + y )( x + xy + y )
　　相当于 64 - 1,
　　= ( 8 - 1 )( 8 + 1 )
　　= ( 2 - 1 )( 4 + 2 + 1 )( 2 + 1 )( 4 - 2 + 1 )
　　= 1 X 7 X 3 X 3
　　如果先用立方差,做成
　　= ( 4 - 1 )( 4 + 4 + 1 )
　　= ( 2 - 1 )( 2 + 1 )( 16 + 4 + 1 )
　　= 1 X 3 X 21
　　就还有 21 不是质因数,分解不彻底,也就不正确了.
　　正如现在的平方差,有两个完全平方式相减,
　　现在要求分解的式子都比较复杂,要想还原就不方便了,
　　各种类型的式子,我们就都要熟悉两三种解答方式,
　　看看不同的方式方法是不是同一个结果,
　　这样才能够相互检验,确保解答正确.
　　如果要看技巧、诀窍,我还发布了答案网经验
　　http://jingyan.baidu.com/article/11c17a2c749061f446e39d9a.html
　　http://jingyan.baidu.com/article/8275fc86baa46346a13cf651.html
　　希望你看过也有用,对你也有所帮助.

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