已知X^2+Y^2+Z^2=1 求X+Y的取值范围
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解决时间 2021-01-21 12:46
- 提问者网友：咪咪
- 2021-01-20 17:58
已知X^2+Y^2+Z^2=1 求X+Y的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：撞了怀
- 2021-01-20 19:29
解：（1）用几何法解： 设x+y=z，则y=-x+z。斜率是-1。画出x^2+y^2=1和y=-x+z的图像，令直线与圆相切，得z=正负根号2 则-根号2<=x+y<=根号2 (2)换元： 设x=cost，y=sint， 则x+y=cost+sint=根号2倍的sin(x+π/4)， 则-根号2<=x+y<=根号2 (3)存在性求解： 设x+y=t,则t应使方程组x+y=t ①，x^2+y^2=1 ②有解， 由①得x=t-y，代入②， 得2y^2-2ty+t^2-1=0，则该关于y的二次方程有解， Δ=4t^2-8*(t^2-1)>=0 解得-根号2<=x+y<=根号2 (4)不等式学了吗，不等式法 因为[(x+y)/2]^2-(x^2+y^2)/2=(-x^2+2xy-y^2)/4=-(x-y)^2/4<=0 所以[(x+y)/2]^2<=(x^2+y^2)/2=1/2 即(x+y)^2<=2 解得-根号2<=x+y<=根号2
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