求齐次微分方程y'=x/y+y/x满足x=1y=4的解
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解决时间 2021-03-12 20:56
- 提问者网友：沉默的哀伤
- 2021-03-12 06:52
求齐次微分方程y'=x/y+y/x满足x=1y=4的解
最佳答案
- 五星知识达人网友：梦中风几里
- 2021-03-12 07:00
设z = y/x ==> dy/dx = z + x dz/dx
y' = x/y + y/x
z + x dz/dx = 1/z + z
x dz/dx = 1/z
z dz = 1/x dx
z²/2 = ln|x| + c₁/2
(y/x)² = 2ln|x| + c₁
初值条件：y|_(x=1) = 4
(4/1)² = 2ln(1) + c₁ 即 c₁ = 16
(y/x)² = 2ln|x| + 16
y = ± x√[ 2ln|x| + 16 ] = ± x√2 √[ ln|x| + 8 ]
但y = - x√2 √[ ln|x| + 8 ]不符合y|_(x=1) = 4的要求
所以特解为：y = x√2 √[ ln|x| + 8 ]
y' = x/y + y/x
z + x dz/dx = 1/z + z
x dz/dx = 1/z
z dz = 1/x dx
z²/2 = ln|x| + c₁/2
(y/x)² = 2ln|x| + c₁
初值条件：y|_(x=1) = 4
(4/1)² = 2ln(1) + c₁ 即 c₁ = 16
(y/x)² = 2ln|x| + 16
y = ± x√[ 2ln|x| + 16 ] = ± x√2 √[ ln|x| + 8 ]
但y = - x√2 √[ ln|x| + 8 ]不符合y|_(x=1) = 4的要求
所以特解为：y = x√2 √[ ln|x| + 8 ]
全部回答
- 1楼网友：从此江山别
- 2021-03-12 08:18
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