急！高数题：设f(x)在R上有二阶连续导数,且f(0)=0,x不等于0时,g(x)=f(x)/x；x=0时，g(x)=f'(0)

证g'(x)在R上有一阶连续导数。下面好像是个提示：x不等于0时，g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,x等于0时，g'(x)=1/2f'(0) 时间很紧迫，急求解！！！

应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧？

当x≠0时, g(x)=f(x)/x
∴g'(x) = [xf'(x)-f(x)]/x²
g'(x)在x≠0时连续

x=0时,
g'(0) = lim(x→0) [g(x)-g(0)]/(x-0)
=lim(x→0) [f(x)/x-f'(0)]/x
=lim(x→0) [f(x)-xf'(0)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

又lim(x→0) [xf'(x)-f(x)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

∴lim(x→0) g'(x) =g'(0)
即g'(x)在x=0处连续

综上可得g'(x)在R上连续，即g(x)在R上有一阶连续导数

证明：x不等于0时，g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2, x等于0时，g'(0)=lim(g(x)-g(0))/x=lim(f(x)/x-f'(0))/x =lim(f(x)-xf'(0))/x^2=lim(f'(x)-f'(0))/2x=1/2f''(0) x趋于0时，limg'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,=lim(f'(x)+xf''(x)-f('x))/2x=limf''(x)/2=f''(0)/2 =g'(0) 所以：g'(x)在R上连续

应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧？加油 你是最棒的

1）∵ f(x)在（0，+∞）可导，且导数大于0，f（0）为0      ∴f(x)在（0，+∞）单调递增      ∴f(x)>f(0)=0       即f(x)在（0，+∞）上恒大于0 2）g(x)有极值（由于三问是否联系未知，故不能知道f(x)在x=x0处取极大值还是极小值）      当f(x)在x=x0处取极大值是，g(x)取极小值      当f(x)在x=x0处取极小值是，g(x)取极大值  3）∵f'（0）=0，lim（x→0）f‘’(x)/abs(x)=1                 ∴f‘’(x)>0   x∈r       ∴f'(x)在r上单调递增         ∵f'（0）=0      ∴f'(x)在（-∞，0）上小于0，在（0，+∞）上大于0      ∴f（x）有极值，有拐点