已知0<x<1/3，求函数y=x(1-3x)的最大值【基本不等式】

已知0<x<1/3，求函数y=x(1-3x)的最大值【基本不等式】

解：
∵0＜x＜1/3，∴1－3x＞0
【方法1】
y＝x(1－3x)＝1/3•3x•(1－3x)≤1/3[ ( 3x＋(1－3x) )/2 ]²＝1/12
当且仅当3x＝1－3x，即x＝1/6时，取等号
∴当x＝1/6时，函数取得最大值1/12
【方法2】
∵0＜x＜1/3，∴1/3－x＞0
∴y＝x(1－3x)＝3•x(1/3－x)≤3[ ( x＋(1/3－x) )/2 ]²＝1/12
当且仅当x＝1/3－x，即x＝1/6时，等号成立
∴当x＝1/6时，函数取得最大值1/12

Y=X-3X^2=-3(X-1/6)^2+1/12 (配方），所以当X=1/6时，Y最大=1/12

0<3x<1 => 3x>0 ; 1-3x >0 把1分成 3x 与1-3x 当 3x=1-3x时即x=1/6
乘积3x(1-3x)最大 此时值1/2 *(1-1/2)=1/4 => y=x(1-3x) max=1/12...ans

y=x（1-3x）=1/3*3x（1-3x）≤1/3*（3x+1-3x）²/4=1/3*1/4=1/12
所以函数的最大值为1/12
当3x=1-3x时，取最大值，即x=1/6，取最大值1/12

x<1/3,则3x-1<0.即1-3x>0
∴y=x(1-3x)=1/3*3x*(1-3x)≤(1/3)*{[3x+(1-3x)]/2}²=1/12
当且仅当1-3x=x，即x=1/4时取等号
故最大值为1/12

0则3x>0,1-3x>0
所以√[3x(1-3x)]≤[3x+(1-3x)]/2=1/2
3x(1-3x)≤1/4
x(1-3x)≤1/12
所以最大值是1/12